用赫渥特多阶曲面上的地图着色公式证明四色猜测是正确的

雷明85639720

用赫渥特多阶曲面上的地图着色公式证明四色猜测是正确的
雷  明
（二○二三年二月二十二日）

1，虽然赫渥特用他自已构造出的图指出了坎泊证明四色猜测中的漏洞，但他却同样也没有对他的图进行4—着色。虽然他没有最终证明四色猜测是否正确，但他却得到了多阶曲面上的地图着色公式：γ＝＜（7＋√（1＋48n））/2＞（n≥0）。式中n为曲面的亏格，希腊字母γ（嘎吗）是亏格为n的曲面上地图的色数。由于他对他的图未能进行4—着色，所以他在公式的条件注的是亏格n大于0。由于n等于0时的球面或平面上的地图的色数也是小于等于4的，所以我在这里引用时所注条件为n大于0。
2，虽然我们不知道以上公式是如何得来的，但是我们可以通过多阶曲面上的欧拉公式推导出赫渥特多阶曲面上地图的着色公式（推导过程见笔者的《四色猜测的手工证明》一书，这里不再祥述。当把曲面亏格为0代入其中时，色数的确是小于等于4的。这也就证明了亏挌为0的平面或球面上的四色猜测是正确的。
3，图的亏格就是球面上的穿过孔洞数。球面上无孔洞，亏格是0，有一个孔洞时，球面就可拓扑变化成轮胎面（环面），有两个孔洞时，球面就可拓扑变化成眼镜面（双环面相连结），以后每增加一个孔洞，就会变化成增加了一个环面的多环面连结的多环面。这一系列的多环面（包括无孔洞零环面的球面在内）就是定向系列的多阶曲面。球面上的孔洞数就是多阶曲面的亏格。
4，一个图可以嵌入到不同亏格的曲面上。嵌入即是把图画在曲面上时，除顶点以外，别处再无边与边相交叉的情况。图的亏格则是其所能嵌入的曲面的最小亏格。曲面所能嵌入的最大完全图的顶点数则是该曲面所能嵌入的图的最大色数。

雷  明
二○二三年二月二十二日于长安