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ABCD 是正方形,E 在 BC 中垂线上,EBG 共线且 AG//BD,求证:BD 平分 ∠GDE

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发表于 2023-4-20 19:43 | 显示全部楼层 |阅读模式


如图,正方形ABCD,BE=CE,过 A 作 BD 的平行线交 EB 延长线于 G,求证:BD 平分 ∠GDE。

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发表于 2023-4-21 08:38 | 显示全部楼层

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赞!  发表于 2023-4-21 08:47
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 楼主| 发表于 2023-4-21 08:47 | 显示全部楼层
求纯几何证法,包括射影的方法,最好不用同一法。
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发表于 2023-4-21 09:03 | 显示全部楼层
测试两角相等的方法至少有下面这五种:

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 楼主| 发表于 2023-4-21 17:37 | 显示全部楼层
折腾了一天,也给出了一个证法。

连接 FE、IJ,则有 FE//AB

由 FE//AB => FJ/JB=FE/AB

再考虑 △ABF 被 KID 截取,由梅涅劳斯定理,有
AK/KB BD/DF FI/IA = 1 => FI/IA = KB/2AK

又 DB//AG => KB/AK=BC/AG => KB/2AK = BF/AG

∴ FI/IA = BF/AG = HF/HA = FE/AB = FJ/JB
∴ IJ//AB
∴ IJ⊥AD,又 AF⊥DJ,即 I 是 △AJD 的垂心
∴ DI⊥AJ,也就是 DG⊥AE

由于AE⊥DG,∴ ∠KDA=∠KAE=∠CDE
∴ ∠KDB=∠EDB

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 楼主| 发表于 2023-4-21 19:58 | 显示全部楼层
贴吧给了个神一般的证明。

由于 AG//OB,AB//OE,∴△GAB∽△BOE
∴ GA/AB=OB/OE
∴ GA/AD=OA/OE,又 ∠GAD=135°=∠AOB
∴ △GAD∽△AOE
∴ ∠ADG=∠OEA=∠BAE=∠CDE
∴ ∠GDB=∠ EDB

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发表于 2023-4-21 21:59 | 显示全部楼层
题:正方形ABCD,E在BC中垂线上,EBG共线且AG//BD,求证:BD平分∠GDE。

解析法思路(主贴图):设B(0,0),A(0,2),D(2,2),E(1,-a)。易得DE:  (a+2)x-y-2(a+1)=0。

由AG(y=x+2)和EG(y=-ax)解得G(-2/(a+1),2a/(a+1))。故DG:  x- (a+2)y+2(a+1)=0。

故,B(0,0)到DE和DG距离相等,即BD平分∠GDE。
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发表于 2023-4-22 00:51 | 显示全部楼层
楼上的解答已收藏。
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发表于 2023-4-22 08:16 | 显示全部楼层
cos(BDE)=(8)2+(22+(1/cos(B))222(1/cos(B))cos(90+B))2(1/cos(B))22(8)22+(1/cos(B))222(1/cos(B))cos(90+B)

cos(BDG)=(8)2+(22+(2cos(B)/sin(45+B))2+22(2cos(B)/sin(45+B))cos(45))2(2sin(45)/sin(45+B))22(8)22+(2cos(B)/sin(45+B))2+22(2cos(B)/sin(45+B))cos(45)
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发表于 2023-4-22 09:39 | 显示全部楼层
题:正方形ABCD,E在BC中垂线上,EBG共线且AG//BD,求证:BD平分∠GDE。

解析法思路(主贴图):设B(0,0),A(0,2),D(2,2),E(1,-a)。易得DE的斜率为:  a+2。

由AG(y=x+2)和EG(y=-ax)解得G(-2/(a+1),2a/(a+1))。故DG的斜率为:  1/(a+2)。

又∣a+2-1∣/∣1+a+2∣=∣1/(a+2)-1∣/∣1+1/(a+2)∣=(a+1)/(a+3),故BD平分∠GDE。

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多谢老师。  发表于 2023-4-22 09:55
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