椭圆 W：x^2/a^2+y^2/b^2=1 离心率 √2/2，W 上点到 P(0,2) 最远距离为 4，求 W 方程

dodonaomikiki

坊间传言，今年高考很难！
近期有一张湖南联考试卷，均分70/150
分数一半还达不到！

这里是其中一道椭圆大题

dodonaomikiki

感觉第一小题，送分题的干活！
感觉第二小题，难度就上来啦~~~~~~~但估计应该有【套路】滴

Nicolas2050

你估计是高考的失败者，还坊间传言！你这是妥妥的造谣传谣。已经涉嫌寻衅滋事了，还涉嫌泄露国家秘密罪

dodonaomikiki

支持一哈!

Nicolas2050

每个人一生都要路过很多地方，你的足迹会是你成长路上的风景。其实，人选择要走什么样的路往往是自己决定的，但是总有人会为了所谓的捷径，走上了一条不归之路。这些根本原因就是来自于一个人的欲望，欲望太多，就容易迷失。

在当下的社会，无处不在的诱惑，会让人停止了脚步。年轻时，我们可以因为不成熟选择去过自己想要的生活，但是到了一定的年纪之后，你要学着成熟，肩负属于自己的责任。

年少时我们醉心于欢场当中，以此来过自己的肆意人生，等到了一定的年纪，才发现自己过得碌碌无为。此生，才幡然醒悟，悔恨万千，痛恨曾经的自己。可是世间上哪有什么后悔药吃，于是，我们只能去接受现在自己制造的一切。

dodonaomikiki

   首先，直线CD不应该竖直，应该倾斜的

dodonaomikiki

这种题目应该是一个套路！计算繁杂，有点无聊 心浮气躁的人，
确实容易放弃！因为计算太繁杂



Set      \(       CD:   y=kx+\Omega                            \)
   \(      C(x1,  y1),  D(x2,   y2),     \)  显然这两点的纵坐标都不可以等于O
把直线CD之方程，与椭圆方程联立起来
\begin{align*}
\begin{cases}      y=kx+\Omega\\ \frac{x^2}{8}+  \frac{y^2}{4}  =1 \end{cases}\\
\Longrightarrow   \frac{x^2}{8}+ \frac{k^2x^2+2k\Omega x+ \Omega^2                         }{4}  =1\\
x^2+2k^2x^2+4k\Omega x+2 \Omega^2 -8=0    \\
(1+2k^2)x^2+4k\Omega x+2 \Omega^2 -8=0  \\
\end{align*}

   \(      \Delta\succeq0         \)
\begin{align*}
\Longrightarrow    16k ^2\Omega^2-4( 1+2k^2)(2 \Omega^2 -8)\succeq   0\\
2k ^2\Omega^2-( 1+2k^2)( \Omega^2 -4)\succeq  0\\
\Omega^2-4-8k ^2\succeq  0\\
\Omega^2 \succeq 4+8k ^2\\
\end{align*}

dodonaomikiki

and
            \(  x1 +x2=\frac{-4k\Omega}{  1+2k^2}                       \)
            \(  x1  \bullet   x2=\frac{2\Omega^2     -8     }{  1+2k^2}=2 \bullet   \frac{\Omega^2     -4     }{  1+2k^2}              \)


and
      \( PC:  y_{PC}=\frac{    y1-2  }{x1}+2              \)
      \( PD:y_{PD}=\frac{    y2-2  }{x2}+2              \)




When        \(  x=4              \)
      \( y_{B}=\frac{    4y1-8  }{x1}+2              \)
      \( y_{B1}=\frac{    4y2-8  }{x2}+2              \)
And
      \( y_{B}+y_{B1}=0  \Longrightarrow  \frac{    4y1-8  }{x1}+2+\frac{    4y2-8  }{x2}+2=0              \)
       \( \Longrightarrow    \frac{    y1-2  }{x1}+\frac{    y2-2  }{x2}+2=-1              \)
遥想一开始就Set之方程：        \( y=kx+\Omega              \)

dodonaomikiki

做着做着，就是觉得有点烦躁！


本身这种题目，
也不是具有很高难度，感觉也不要你天赋异禀~~~
由此可见，大学入学考试【数学】，
也是在考察一个人的心性~~~
心浮气躁之人，
最好不要参加这种考试，感觉满吃亏的

dodonaomikiki

\begin{align*}
\frac{ kx1+\Omega-2   }{  x1 }+\frac{ kx2+\Omega-2   }{  x2 }=-1\\
\Longrightarrow   kx1x2+\Omega x2-2x2+kx1x2+x1\Omega  -2x1+x1x2=0\\
(2k+1)x1x2+\Omega(x1+x2)-2(x1+x2)=0\\
(2k+1)x1x2+(\Omega-2)(x1+x2)=0\\
把前面的(x1+x2)以及x1x2代入\\
(2k+1)  \bullet 2 \bullet   \frac{\Omega^2     -4     }{  1+2k^2}   =(\Omega-2) \bullet  \frac{4k\Omega}{  1+2k^2}     \\
(2k+1) （\Omega^2     -4 ）=(\Omega-2) \bullet 2k \Omega\\
(2k+1) （\Omega+2 ）=(\Omega-2) \bullet2k  \Omega\\
2k  \bullet  2+\Omega+2=0\\
\Omega=-4k-2\\
\end{align*}\\




\begin{align*}
\Longrightarrow   CD:   y=kx+\Omega=kx-4k-2\\
亦即    y+2=k(x-4)  \\

\Longrightarrow    定点（4，-2）\\
\end{align*}