方程有唯一的正整数解，判断: a是素数

太阳

\(y＞1\)，方程\(\frac{4^{3a}-1}{2^{2y}-2^y+1}＝c\)，有唯一的正整数解，判断: \(a\)是素数

太阳

\(y＞1\)，方程\(\frac{4^{2991}-1}{2^{2y}-2^y+1}＝c\)，如何快速判断方程有唯一的正整数解？

太阳

竹篮打水一场空，这个方程漂亮优美，所有奇素数都具备这个条件，a是合数，最少有两个正整数解

yangchuanju

何必拐弯抹角用4的3a次方减1，直接改成2的3a次方减1就是了！
(2^3a-1)/(2^2y+2^y+1)=c，只要只有唯一的正整数解，a就是素数。
a        y        2^3a-1        2^2y+2^y+1        相除
1        1        7        7        1
2        2        63        21        3
3        3        511        73        7
4        4        4095        273        15
4        2        4095        21        195
5        5        32767        1057        31
6        6        262143        4161        63
6        3        262143        73        3591
6        2        262143        21        12483
7        7        2097151        16513        127
8        8        16777215        65793        255
8        4        16777215        273        61455
8        2        16777215        21        798915
9        9        134217727        262657        511
9        3        134217727        73        1838599
10        10        1073741823        1049601        1023
10        5        1073741823        1057        1015839
10        2        1073741823        21        51130563
11        11        8589934591        4196353        2047

yangchuanju

(2^3a+1)/(2^2y-2^y+1)不一定能整除，其中y等于a或是a的一个约数：
（y=a时都能整除，y是a的某个约数时有时整除有时不能整除）
a        y        2^3a+1        2^2y-2^y+1        相除
1        1        9        3        3
2        2        65        13        5
3        3        513        57        9
4        4        4097        241        17
4        2        4097        13        315.1538462
5        5        32769        993        33
6        6        262145        4033        65
6        3        262145        57        4599.035088
6        2        262145        13        20165
7        7        2097153        16257        129
8        8        16777217        65281        257
8        4        16777217        241        69615.0083
8        2        16777217        13        1290555.154
9        9        134217729        261633        513
9        3        134217729        57        2354697
10        10        1073741825        1047553        1025
10        5        1073741825        993        1081311.002
10        2        1073741825        13        82595525
11        11        8589934593        4192257        2049

太阳

何必拐弯抹角用4的3a次方减1，直接改成2的3a次方减1就是了！
(2^3a-1)/(2^2y+2^y+1)=c，只要只有唯一的正整数解，a就是素数。
\(4^{3a}-1\)改写\(2^{3a}-1\)，这样改写，相除不一定等于整数

太阳

方程\(\frac{4^{3a}-1}{2^{2y}-2^y+1}＝c\)，有唯一的正整数解，\(a＝y\)，判断: \(a\)是素数

太阳

\(y＞1\)，方程\(\frac{4^{3a}-1}{2^{2y}-2^y+1}＝c\)，有唯一的正整数解，判断: \(a\)是素数

yangchuanju

太阳 发表于 2023-5-2 21:11
何必拐弯抹角用4的3a次方减1，直接改成2的3a次方减1就是了！
(2^3a-1)/(2^2y+2^y+1)=c，只要只有唯一的正 ...

请注意，2^2y-2^y+1同时改为2^2y+2^y+1，
2^3a-1=(2^a-1)*(2^2a+2^a+1)，
2^3a-1总能被2^2a+2^a+1整除。

太阳

(m^3a-1)/(2^2y+2^y+1)= c，(2^3a-1)/(2^2y+2^y+1)= c，y＞1，m缩小到2，有唯一的正整数解
(m^3a-1)/(2^2y-2^y+1)= c，(4^3a-1)/(2^2y-2^y+1)= c，y＞1，m缩小到4，有唯一的正整数解
第一个式子(2^3a-1)/(2^2y+2^y+1)= 2^a-1，梅森数
第二个式子(4^3a-1)/(2^2y-2^y+1)= (2^a-1)× t，包含梅森数，其它素数因子
这两个式子完全不一样，都有研究的价值，意义重大