正三角的趣味

ccmmjj

我在网上淘到这道题目：如图：求等边三角形中三个小等边三角形的面积比。

我看了半天题目，大致明白了它的意思。首先三等分边AD，四等分边DH，然后以等分点C、E为边，向内作正三角形，得到P点。然后以PG、PB为边分别向AH方向作正三角形，得到M、N点。我就疑问了：M、N一定在边AH上吗？于是我便用几何画板进行模拟，结果确实如此。

数学软件的结论固然正确，没有象话的数学表述是不可接受的。在此邀请同好共同探究。

玉树临风

这还需要探究吗，能不能留点余地给小学生，研究点有意义的问题

玉树临风

作图顺序已经包含答案了

玉树临风

我给你一个值得探究的问题：
用尺规三等分任意角
任意角的三等分线已经于1836年被Pierre Wantzel证明不可能仅用尺规画出。
他将这个问题转换成了代数计算，并用反证法证明其不可行。

探究问题1：尺规的几何功有哪些代数意义？
探究问题2：圆周角可以被任意等分吗？

ccmmjj

玉树临风 发表于 2023-5-4 20:37
我给你一个值得探究的问题：
用尺规三等分任意角
任意角的三等分线已经于1836年被Pierre Wantzel证明不可 ...

你说的这些读书的时候都学习过了，反而没什么意思。
主贴的问题虽然简单，据说是小学生做的。但是要找到它的制作原理，也是一件饶有趣味的事情。高大上的东西，挂在嘴头上容易，但多是食人牙惠，人云亦云而已。想自己倒腾出东西来，那是千难万难的事情。
你说作图过程就包含了结果，诚然，名言哉！哪个作图过程不包含结果？论坛中有不少老人，用数学软件对几何问题进行不厌其烦的计算，如果只要记住这句名言，何必做这样的事情？
做数学题这种东西，有时候完全凭着自己的兴趣。乘兴则来，兴尽而弃。是不需要什么理由的。

天山草

天山草

已知三角形三个顶点的复坐标，求其面积的公式很好用。

tmduser

附图显示了三个正三角形的关系，其中Z点必定在中间那条和AB平行的虚线上。
当x=3/4时，就是本题中的原图。

tmduser

tmduser 发表于 2023-5-7 21:31
附图显示了三个正三角形的关系，其中Z点必定在中间那条和AB平行的虚线上。
当x=3/4时，就是本题中的原图。 ...

注：D、E可以不用是三等分点也可构图。

ccmmjj

谢谢楼上网友分析，我将原作者的解答转帖于此，请大家看看，算不算妙法。