循环小数 0.99…＝1 及 0.99… 的实际意义

宁安居士

循环小数0.99…＝1及0.99…的实际意义
宁安居士
最近发现很多视频段子都在证明0.99…＝0.33…×3＝1/3×3＝1，我此前一直认为等式中0.33…×3＝1/3×3＝1是合理的，但第一步0.99…＝0.33…×3却存在着漏洞，因为它忽略了3个“余差”的存在。但经过论证发现，我前边的观点是错误地把0.99…理解成了0.99……，前者是循环小数，后者则是有效数字为n个9的任意有限小数。而循环小数0.99…的实际意义是1的拆分变形，即0.99…＝1，而“余差”是包含在循环小数本身之内的。

追根溯源，循环小数是除分时因求商除不尽而出现的无限小数，换句话说，循环小数本身是用来表示商的同时，在商以外永远都存在一个“余差”。例如，1/9＝1÷9＝1.0÷9＝0.1余0.1＝0.11余0.01＝0.111余0.001＝……无论以9除到被除数小数点后的第几位，“余差”都是10的相应小数位数次方分之一（除到小数点后第10位，“余差”就是10的10次方分之1，即0.0000000001；除到小数点后第100位，“余差”就是10的100次方分之1。）；再如，2/9＝2÷9＝2.0÷9＝0.2余0.2＝0.22余0.02＝0.222余0.002＝……无论以9除到被除数小数点后的第几位，“余差”都是10的相应小数位数次方分之二；又如，3/9＝3÷9＝3.0÷9＝0.3余0.3＝0.33余0.03＝0.333余0.003＝……无论以9除到被除数小数点后的第几位，“余差”都是10的相应小数位数次方分之三。以此类推，每个循环小数的出现，都会同时伴生一个无限存在的“余差”。
当我们用“＝”来表示“一个循环小数等于某个分式或除式”的时候，其实这个循环小数在表商的同时，也将“余差”包含在内并省略掉了。按照这个逻辑，我们如果先假设循环小数0.99…存在并有意义，那么它将同时满足两个条件：第一，可以在除分求商的情况下出现；第二，以9除某数时，得到商0.99……（设9循环至小数点后第n位，n趋近于无穷大）的同时，存在一个余差为“10的n次方分之9（n→∞）”。
接下来我们证明一下假设是否成立。
因为3/9=0.33…，即：
  3/9
＝3÷9
＝（2.7+0.3）÷9
＝（2.7+0.3）×1/9
＝2.7×1/9+0.3×1/9
＝2.7/9+0.3/9
＝0.3+0.3/9
＝0.33+0.03/9
＝0.333+0.003/9
＝……
＝0.33…（含 “余差”10的n次方分之3，n→∞）
根据上面算式可知：
　0.33…×3
＝（0.3+0.3/9）×3
＝0.3×3+0.3/9×3
＝0.9+0.3×3/9
＝0.9+0.9/9＝0.9+0.1＝1
＝0.99+0.09/9＝0.99+0.01＝1
＝0.999+0.009/9＝0.999+0.001＝1
＝……
＝0.99…（含“余差”10的n次方分之9，n→∞）
接下来我们再证明一下1＝9/9＝0.99…：
　1
＝9/9
＝（8.1+0.9）÷9
＝8.1÷9+0.9÷9
＝0.9+0.9/9＝0.9+0.1＝1
＝0.99+0.09/9＝0.99+0.01＝1
＝0.999+0.009/9＝0.999+0.001＝1
＝……
＝0.99…（含“余差”10的n次方分之9，n→∞）
综上所述，0.99…既可以在除分求商的情况下出现，也可以在以9除某数时，得到商0.99……（设9循环至小数点后第n位， n→∞）的同时，存在一个余差为“10的n次方分之9（n→∞）”。所以，0.99…＝1，即循环小数0.99…存在并有意义。

之所以存在一些争议，其实就是因为有人把0.99…理解成了0.99……

elim

楼主认为对0.999…. 有独到的见解不是不可以．但需要承认你不懂人类数学的0.999…
指鹿为马，不懂装懂不太好吧？

jzkyllcjl

楼主揭发了等式0.99…＝1中，无尽小数0.99…的实际意义。值得尊重。

elim

jzkyllcjl 发表于 2023-5-10 18:23
楼主揭发了等式0.99…＝1中，无尽小数0.99…的实际意义。值得尊重。

宁安居士揭发了吃狗屎的 jzkyllcjl 的精神错乱？ 我怎么觉得你两是彼此彼此？

宁安居士

你们忽略了我的论述中一个重要的观点：那就是循环小数本身隐藏了一个“余差”，这个余差是不能忽略的存在。否则1/3只能约等于0.33…，且1/3＞0.33…，这样一来，0.99…也不能等于1，而是小于1了。如果把隐含的“余差”算在循环小数本身之内，那么一切问题将不存在，1＝0.99…也完全成立，因为1就是以9除1得到商0.9的同时还余下0.9不除，以此往复下去而形成的循环。以上说法如果再不理解，那就各自坚持自己的观点好了。
我的观点是从生活数学出发来解答循环小数，而高等数学如何来解答，那就是各位的事了。但记住一点，证明的时候一定把“余差”带上。

宁安居士

elim 发表于 2023-5-10 21:58
楼主认为对0.999…. 有独到的见解不是不可以．但需要承认你不懂人类数学的0.999…
指鹿为马，不懂装懂不 ...

从生活数学的角度来证明循环小数的意义，我觉得这种理解可以成立，而且并不与你的高等数学相悖吧。

宁安居士

elim 发表于 2023-5-10 21:58
楼主认为对0.999…. 有独到的见解不是不可以．但需要承认你不懂人类数学的0.999…
指鹿为马，不懂装懂不 ...

初衷是想换个角度理解一下循环小数而已，此前我可能表达的不清楚，现在进行了修正，你再帮我审一下，如果叙述有漏洞，请指出问题出在哪儿，谢谢。

宁安居士

jzkyllcjl 发表于 2023-5-11 09:23
楼主揭发了等式0.99…＝1中，无尽小数0.99…的实际意义。值得尊重。

感谢评论。其实我就是想说，0.99…和0.99……所表达的意义是不一样的。

jzkyllcjl

宁安居士 发表于 2023-5-17 05:08
感谢评论。其实我就是想说，0.99…和0.99……所表达的意义是不一样的。

0.3333……与1/3的余差是无穷梳理。1/30,1/300,1/3000,……，虽然这个余差数列趋向于0，但永远不是0；所以然这个余差数列可以叫做“无穷小”，但菲赫金哥尔茨《微积分学教程》38页讲到：由于历史性所形成术语《无穷小》量是不十分恰当的，……这量的任何个别数值，只要它不是0，就不能当做是《很小的》量。。事实上，无穷小是这样的一个变量。

宁安居士

jzkyllcjl 发表于 2023-5-18 11:55
0.3333……与1/3的余差是无穷梳理。1/30,1/300,1/3000,……，虽然这个余差数列趋向于0，但永远不是0；所 ...

所以我才说，0.99…和0.99……所表达的意义不同。0.33…与0.33……也同样存在区别。
因为循环小数的余差永远存在，而余差也永远不可能是0，所以必须考虑它的存在，也必须将它与循环小数本身捆绑在一起去理解。
而0.99……（或0.33……）则是抛开余差的一种数字表达，它永远不可能等于1（或1/3）。
因此，简单地用0.99……或0.33……去理解0.99…或0.33…必然会存在一个误区。