《复变函数》这个书上的例题是不是错了

javavwv

题目如下：

我感觉满足两个C-R方程，求出来之后应该只有(x,y)=(0,0)这一点。不能说该复函数在y=±x，x=0，y=0四条直线上可导，而是仅在原点处可导。
C-R方程的定义

jzkyllcjl

复函数解析的的条件要求对区域内任一点都满足C-R条件。与某一点可导不同。

elim

从 \(2xy=-2xy\) 得 \(xy = 0\) 即 \(x=0\) 或 \(y=0\) 代入 \(u_x = v_y\) 知道
\(x = y = 0\). 所以楼主是对的，课本例题错了。

jzkyllcjl

elim 发表于 2023-5-13 14:52
从 \(2xy=-2xy\) 得 \(xy = 0\) 即 \(x=0\) 或 \(y=0\) 代入 \(u_x = v_y\) 知道
\(x = y = 0\). 所以楼主 ...

课本的例题不错。elim 错了。

javavwv

jzkyllcjl 发表于 2023-5-14 09:59
课本的例题不错。elim 错了。

抱歉，我图没划清楚，从第二张图里面看，书上说在某一点可导的必要条件是在该点可微且满足C-R方程，但第一张图里面分析，可微且满足黎曼方程的只有原点(x,y)=(0,0)，所以我觉得书上说法有问题。我感觉正确的说法应该是在只在原点可导而不是在那四条直线上都可导，而且由于只在原点可导，不存在一个邻域使得在该邻域中处处可导，所以该函数处处不解析。

elim

javavwv 发表于 2023-5-13 21:37
抱歉，我图没划清楚，从第二张图里面看，书上说在某一点可导的必要条件是在该点可微且满足C-R方程，但第 ...

jzkyllcjl 90多岁了，还是初小差班老生程度．不必介意．
3楼证明了例2.4(2)给出的函数仅在原点满足C-R方程．所以楼主对课本的质疑是正确的．

javavwv

elim 发表于 2023-5-14 22:26
jzkyllcjl 90多岁了，还是初小差班老生程度．不必介意．
3楼证明了例2.4(2)给出的函数仅在原点满足C-R方 ...

谢谢！90多岁啦，震惊，炳烛之明，强于昧行啊哈哈。