复解析几何与解析几何比较有哪些优势

denglongshan

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1. 
   
2. \!\(\*OverscriptBox["a", "_"]\) = 1/a;
   
3. \!\(\*OverscriptBox["b", "_"]\) = 1/b;
   
4. \!\(\*OverscriptBox["c", "_"]\) = 1/c; o = a + b + c;
   
5. \!\(\*OverscriptBox["o", "_"]\) =
   
6. \!\(\*OverscriptBox["a", "_"]\) +
   
7. \!\(\*OverscriptBox["b", "_"]\) +
   
8. \!\(\*OverscriptBox["c", "_"]\);(*外接圆圆心在原点*)
   
9. d = (b + c)/2;
   
10. \!\(\*OverscriptBox["d", "_"]\) = (
    
11. \!\(\*OverscriptBox["b", "_"]\) +
    
12. \!\(\*OverscriptBox["c", "_"]\))/2;
    
13. KAB[a_, b_] := (a - b)/(
    
14. \!\(\*OverscriptBox["a", "_"]\) -
    
15. \!\(\*OverscriptBox["b", "_"]\));
    
16. \!\(\*OverscriptBox["KAB", "_"]\)[a_, b_] := 1/KAB[a, b];(*复斜率定义*)
    
17. 
    
18. \!\(\*OverscriptBox["Jd", "_"]\)[k1_, a1_, k2_, a2_] := -((a1 - k1
    
19. \!\(\*OverscriptBox["a1", "_"]\) - (a2 - k2
    
20. \!\(\*OverscriptBox["a2", "_"]\)))/(
    
21.   k1 - k2));(*复斜率等于k1,过点A1与复斜率等于k2,过点A2的直线交点*)
    
22. Jd[k1_, a1_, k2_, a2_] := -((k2 (a1 - k1
    
23. \!\(\*OverscriptBox["a1", "_"]\)) - k1 (a2 - k2
    
24. \!\(\*OverscriptBox["a2", "_"]\)))/(k1 - k2));
    
25. FourPoint[a_, b_, c_, d_] := ((
    
26. \!\(\*OverscriptBox["c", "_"]\) d - c
    
27. \!\(\*OverscriptBox["d", "_"]\)) (a - b) - (
    
28. \!\(\*OverscriptBox["a", "_"]\) b - a
    
29. \!\(\*OverscriptBox["b", "_"]\)) (c - d))/((a - b) (
    
30. \!\(\*OverscriptBox["c", "_"]\) -
    
31. \!\(\*OverscriptBox["d", "_"]\)) - (
    
32. \!\(\*OverscriptBox["a", "_"]\) -
    
33. \!\(\*OverscriptBox["b", "_"]\)) (c - d));(*过两点A和B、C和D的交点*)
    
34. 
    
35. 
    
36. \!\(\*OverscriptBox["FourPoint", "_"]\)[a_, b_, c_, d_] := -(((c
    
37. \!\(\*OverscriptBox["d", "_"]\) -
    
38. \!\(\*OverscriptBox["c", "_"]\) d) (
    
39. \!\(\*OverscriptBox["a", "_"]\) -
    
40. \!\(\*OverscriptBox["b", "_"]\)) - ( a
    
41. \!\(\*OverscriptBox["b", "_"]\) -
    
42. \!\(\*OverscriptBox["a", "_"]\) b) (
    
43. \!\(\*OverscriptBox["c", "_"]\) -
    
44. \!\(\*OverscriptBox["d", "_"]\)))/((a - b) (
    
45. \!\(\*OverscriptBox["c", "_"]\) -
    
46. \!\(\*OverscriptBox["d", "_"]\)) - (
    
47. \!\(\*OverscriptBox["a", "_"]\) -
    
48. \!\(\*OverscriptBox["b", "_"]\)) (c - d)));
    
49. e = FourPoint[a, d, o, c];
    
50. \!\(\*OverscriptBox["e", "_"]\) =
    
51. \!\(\*OverscriptBox["FourPoint", "_"]\)[a, d, o, c];
    
52. f = Jd[-KAB[a, d], e, a c, b];
    
53. \!\(\*OverscriptBox["f", "_"]\) =
    
54. \!\(\*OverscriptBox["Jd", "_"]\)[-KAB[a, d], e, a c, b];
    
55. g = (e + f)/2;
    
56. \!\(\*OverscriptBox["g", "_"]\) = (
    
57. \!\(\*OverscriptBox["e", "_"]\) +
    
58. \!\(\*OverscriptBox["f", "_"]\))/2;
    
59. Simplify[{1, e,
    
60. \!\(\*OverscriptBox["e", "_"]\), 2, f,
    
61. \!\(\*OverscriptBox["f", "_"]\)}]
    
62. Factor[{1, e,
    
63. \!\(\*OverscriptBox["e", "_"]\), 2, f,
    
64. \!\(\*OverscriptBox["f", "_"]\)}]
    
65. Simplify[{3, g,
    
66. \!\(\*OverscriptBox["g", "_"]\)}]
    
67. Simplify[{4, KAB[b, c], KAB[o, g]}]
    
68. Simplify[KAB[b, c] == -KAB[o, g]](*验证垂直*)
    
69. Simplify[{5, (b - c)/(o - g), (
    
70. \!\(\*OverscriptBox["b", "_"]\) -
    
71. \!\(\*OverscriptBox["c", "_"]\))/(
    
72. \!\(\*OverscriptBox["o", "_"]\) -
    
73. \!\(\*OverscriptBox["g", "_"]\))}]
    
74. Simplify[(b - c)/(o - g) == -((
    
75. \!\(\*OverscriptBox["b", "_"]\) -
    
76. \!\(\*OverscriptBox["c", "_"]\))/(
    
77. \!\(\*OverscriptBox["o", "_"]\) -
    
78. \!\(\*OverscriptBox["g", "_"]\)))](*验证实部等于0*)
    

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denglongshan

从主贴看，用外接圆心作原点，如果用解析几何，表示会复杂得多

denglongshan

希望大家讨论

denglongshan

这种构造中间点的表示简单一些

天山草

对于此题，用笛卡尔老前辈的解析几何方法，并没有任何困难，也许还不用考虑构图技巧和设点方法。此题即是。


各点坐标的复杂程度，一般来说，应该是笛卡尔的复杂。
但是此题，如果令 A 点坐标为零，C 点坐标为 1，B 点坐标为 (u, v) 倒未必有多复杂。

天山草

笛卡尔发明了平面直角坐标系及其解析几何方法，那时候笛老爷还不知道有复数平面这个说法。
所以本人习惯把笛卡尔的那一套方法称为笛卡尔平面和笛卡尔解析方法。
已知三角形的三个顶点，求三角形的垂心坐标，笛卡尔公式和复平面公式如下：

可以看出，二者有一些相似之处。

uk702

这题不知用向量会不会好些，向量在证明垂直通常有一手，当然复数在证明垂直也有一手，两者很多时候没有区别。

天山草

复斜率与斜率相比，复斜率的好处是不会等于无穷大，不论直线处于任何角度复斜率都有意义。斜率则不同，直线处于竖直位置时斜率等于无穷大，有时没有考虑到这一点就会引起麻烦。例如本题中 \(OB\) 和 \(OF\) 的斜率都是无穷大，编程时必须有所考虑。例如在求垂心的坐标时，列方程时只能采用从 A 到对边的垂线与从 C 到对边的垂线二者的交点，如果采用从 B 到对边的垂线，这时垂线的斜率是无穷大，方程就失效了。

uk702

@denglongshan 可考虑通式。

设 O 的坐标为 (u, v)，F 的坐标为 (m, n)，再求出 E  和 G 的坐标，
之后再解  EF⊥AD，BO⊥AC，CO⊥AB，大概没有难度（没实算不好说）。

然后验证 BC⊥OG 。

这种方法（本质上还是解析方法，借不借向量的名义好像没有意义）理论上可将所有满足 BC⊥OG 的点 O 都求出来。