亿位素数

yangchuanju · 发表于 2023-5-18 21:09

按照素数定理，1亿内共有素数5428681个，实际为5761455个；
即1-8位正整数之中共有5761455个素数，其中8位数之中共有5761455-664579=5096876个素数。
1亿以内素数分率等于0.0576，8位数之中素数分率等于5096876/90000000=0.0566，比1亿以内素数分率稍低。

10以内素数分率等于0.4，10的10次方以内素数分率等于0.0455；
若按素数定理计算的素数个数则分率分别为0.4343和0.04343，指数增大10倍，分率减少10倍。

10的1亿次方为最小的1亿零1位数字，
1亿位以内共约有4.343*10^99999991个素数，1亿减1位以内约有4.343*10^99999990个素数，
其中亿位素数约有4.343*9*10^9999989=3.9087*10^99999990个素数。
1亿位以内素数分率为23058509分之一，即2.3亿（精确一点为2.302585亿）个正整数中平均有一个素数；
1亿减1位以内正整数中的素数分率稍高一些，23058507分之一。
亿位正整数中的素数分率稍低一些，可认为1/[1/ln10*9]=2.558428亿个整数中平均有一个素数。

yangchuanju · 发表于 2023-5-18 21:11

N N/lnN 1/lnN 素数实际-A006880
10 4.342944819 0.434294482 1 4
100 21.7147241 0.217147241 2 25
1000 144.7648273 0.144764827 3 168
10000 1085.736205 0.10857362 4 1229
100000 8685.889638 0.086858896 5 9592
1000000 72382.41365 0.072382414 6 78498
10000000 620420.6884 0.062042069 7 664579
100000000 5428681.024 0.05428681 8 5761455
1000000000 48254942.43 0.048254942 9 50847534
10000000000 434294481.9 0.043429448 10 455052511
1E+11 3948131654 0.039481317 11 4118054813
1E+12 36191206825 0.036191207 12 37607912018
1E+13 3.34073E+11 0.033407268 13 346065536839
1E+14 3.1021E+12 0.031021034 14 3204941750802
1E+15 2.8953E+13 0.028952965 15 29844570422669
1E+16 2.71434E+14 0.027143405 16 279238341033925
1E+17 2.55467E+15 0.025546734 17 2623557157654233
1E+18 2.41275E+16 0.024127471 18 24739954287740860
1E+19 2.28576E+17 0.022857604 19 234057667276344607
1E+20 2.17147E+18 0.021714724 20 2220819602560918840
1E+21 2.06807E+19 0.02068069 21 21127269486018731928
1E+22 1.97407E+20 0.019740658 22 201467286689315906290
1E+23 1.88824E+21 0.018882369 23 1925320391606803968923
1E+24 1.80956E+22 0.018095603 24 18435599767349200867866
1E+25 1.73718E+23 0.017371779 25 176846309399143769411680
1E+26 1.67036E+24 0.016703634 26 1699246750872437141327603
1E+27 1.6085E+25 0.016084981 27 16352460426841680446427399
1E+28 1.55105E+26 0.015510517 28 157589269275973410412739598
1E+29 1.49757E+27 0.014975672 29 1520698109714272166094258063

yangchuanju · 发表于 2023-5-18 21:13

10指数N N/lnN对数 1/lnN对数 1/lnN对数倒数
10 8.637784311 -1.362215689 23.02585093
100 97.63778431 -2.362215689 230.2585093
1000 996.6377843 -3.362215689 2302.585093
10000 9995.637784 -4.362215689 23025.85093
100000 99994.63778 -5.362215689 230258.5093
1000000 999993.6378 -6.362215689 2302585.093
10000000 9999992.638 -7.362215689 23025850.93
100000000 99999991.64 -8.362215689 230258509.3
99999999 99999990.64 -8.362215684 230258507
1000000000 999999990.64 -9.362215689 2302585093
10000000000 9999999989.64 -10.36221569 23025850930
1E+11 99999999988.64 -11.36221569 2.30259E+11
1E+12 1E+12 -12.36221569 2.30259E+12
1E+13 1E+13 -13.36221569 2.30259E+13
1E+14 1E+14 -14.36221569 2.30259E+14
1E+15 1E+15 -15.36221569 2.30259E+15
1E+16 1E+16 -16.36221569 2.30259E+16
1E+17 1E+17 -17.36221569 2.30259E+17
1E+18 1E+18 -18.36221569 2.30259E+18
1E+19 1E+19 -19.36221569 2.30259E+19
1E+20 1E+20 -20.36221569 2.30259E+20
1E+21 1E+21 -21.36221569 2.30259E+21
1E+22 1E+22 -22.36221569 2.30259E+22
1E+23 1E+23 -23.36221569 2.30259E+23
1E+24 1E+24 -24.36221569 2.30259E+24
1E+25 1E+25 -25.36221569 2.30259E+25
1E+26 1E+26 -26.36221569 2.30259E+26
1E+27 1E+27 -27.36221569 2.30259E+27
1E+28 1E+28 -28.36221569 2.30259E+28
1E+29 1E+29 -29.36221569 2.30259E+29
1E+30 1E+30 -30.36221569 2.30259E+30
1E+99 1E+99 -99.36221569 2.3026E+99
1E+100 1E+100 -100.3622157 2.3026E+100

yangchuanju · 发表于 2023-5-18 21:16

本帖最后由 yangchuanju 于 2023-5-19 05:03 编辑

1亿位清一色数只有1个，即1亿个1，它不是素数；
1亿位2^n-1数有3个，n=332192810、332192811、332192812，前后两个不是素数，中间的一个也不是素数332182811=15583*21317，
332192809=13*83*307871，332192813=131*2535823，2^332192809-1和2^332192813-1之中一个小于1亿位，一个大于1亿位，也都不是素数；它们更不会是梅森素数。
因而不存在1亿位清一色素数，不存在1亿位梅森素数。
1亿位以上的清一色数和梅森数中的素因子有可能是亿位大素数。

太阳 · 发表于 2023-5-19 07:07

请教先生，验证一下，7697965562235071080146894266187742061373611050088218785901815194731255580083856950577371947531398134889789342805715603682570745833656049440232111949793108909207499508865559739953421824814393825917900810041，是素数？是合数，分解网站显示是合数，我感觉它是素数

ysr · 发表于 2023-5-19 07:41

7697965562235071080146894266187742061373611050088218785901815194731255580083856950577371947531398134889789342805715603682570745833656049440232111949793108909207499508865559739953421824814393825917900810041
这个数不大，网的分解软件不能分解，素性一栏显示的是C，是啥意思？
我用我自编的程序判断一下吧

ysr · 发表于 2023-5-19 07:45

太阳发表于 2023-5-18 23:07
请教先生，验证一下，76979655622350710801468942661877420613736110500882187859018151947312555800838569 ...

7697965562235071080146894266187742061373611050088218785901815194731255580083856950577371947531398134889789342805715603682570745833656049440232111949793108909207499508865559739953421824814393825917900810041~7697965562235071080146894266187742061373611050088218785901815194731255580083856950577371947531398134889789342805715603682570745833656049440232111949793108909207499508865559739953421824814393825917900810041之间的素数有0个：（用时275.0117秒）
判断出来了，是个合数

太阳 · 发表于 2023-5-19 08:39

ysr 发表于 2023-5-19 07:41
7697965562235071080146894266187742061373611050088218785901815194731255580083856950577371947531398134 ...

c表示合数，数字蓝色

太阳 · 发表于 2023-5-19 10:00

本帖最后由太阳于 2023-5-19 10:13 编辑

\(156\times10^a+7\)，\(a\)指数400之内找到15个素数
\(a＝1，2，3，4，9，10，12，14，33，44，60，146，148，224，351\)
素数\(156\times10^1+7\)，\(156\times10^2+7\)，\(156\times10^3+7\)，\(156\times10^4+7\)
\(156\times10^9+7\)，\(156\times10^{10}+7\)，\(156\times10^{12}+7\)，\(156\times10^{14}+7\)
\(156\times10^{33}+7\)，\(156\times10^{44}+7\)，\(156\times10^{60}+7\)，\(156\times10^{146}+7\)
\(156\times10^{148}+7\)，\(156\times10^{224}+7\)，\(156\times10^{351}+7\)
\(2^p-1\)，\(p\)指数400之内找到12个素数
\(p＝2，3，5，7，13，17，19，31，61，89，107，127\)

太阳 · 发表于 2023-5-19 18:55

\(1056\times10^a+7\)，\(a\)指数200之内找到15个素数
\(a＝1，2，3，5，6，14，17，18，40，48，53，56，63，139，198\)

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