2^n-1因子特性探讨

yangchuanju

2^n-1因子特性探讨
本文表达式2^n-1中的n是一个大于等于3的奇素数和奇合数，n中没有平方、立方等重因子。

（一）、梅森因子的特性
梅森数都可用2^p-1表示，式中p是奇素数，
（梅森素数2^2-1=3未予考虑）
所有梅森的素因子和复合因子都是2kp+1型的素数，
7=2*1*3+1，31=2*6*5+1，127=2*18*7+1，
23=2*1*11+1，89=2*4*11+1，2047=2*93*11+1，
8191=2*315*13+1，131071=2*3855*17+1，524287=2*13797*19+1，
47=2*1*23+1，178481=2*3880*23+1，8388607=2*182361*23+1，
233=2*4*29+1，1103=2*19*29+1，2089=2*36*29+1，233*1103=2*4431*29+1，233*2089=2*8392*29+1，1103*2089=2*39727*29+1，……
表达式中的k可以是1或大于1的奇数和偶数。
换一种说法，所有梅森数的素因子或复合因子减1都含有素因子p，都能被p整除。

梅森数可能是素数（梅森素数）和合数，梅森数都是模8余7的整数（梅森素数3=2^2-1除外），
梅森合数的素因子个数可能是2个、3个、4个、……，有可能有无穷多个；
梅森因子都是模8余1或余7的，多因子梅森数中的模8余7的素因子个数必须是单数。

yangchuanju

（二）、2^pq-1型数字因子特性
表达式中的p和q是不同的奇素数
梅森数2^p-1和2^q-1都是2^pq-1的因子，
2^pq-1除以2^p-1和2^q-1之后还剩一个大素数或大合数（与2^p-1和2^q-1相比而言），以下简称为余因子；
该余因子是一个2k*p*q+1型素数或合数，
该余因子的素因子及复合因子也都是2k*p*q+1型数字（正整数）。

2^15-1=2^(3*5)-1=7*31*151，余因子151=2*5*(3*5)+1；
式中k=5是q=5的倍数，但不是p=3的倍数，即素数151减1中不含3的平方；

2^21-1=2^(3*7)-1=7*7*127*337，余因子337=2*8*(3*7)+1，
素数337减1中不含3的平方；

2^33-1=2^(3*11)-1=7*23*89*599479，余因子599479=2*9083*(3*11)+1，
素数599479减1中不含3的平方；

2^35-1=2^(5*7)-1=7*127*(71*122921)，余因子71=2*1*(5*7)+1，122921=2*1756*(5*7)+1，71*122921=2*124677*(5*7)+1；
素数71、122921减1中不含5的平方，复合因子71*122921减1中也不含5的平方；

2^39-1=2^(3*13)-1=7*8191*(79*121369)，余因子79=2*1*(3*13)+1，121369=2*1556*(3*13)+1，79*121369=2*122925*(3*13)；
素数79、1213691减1中不含3的平方，复合因子79*121369减1中碰巧了它含3的平方；

2^51-1=2^(3*17)-1=7*131071*(103*2143*11119)，余因子103=2*1*(3*17)+1，2143=2*21*(3*17)+1，11119=2*109*(3*17)+1；103*2143=2*2164*(3*17)+1，103*11119=2*11228*(3*17)+1，2143*11119=2*233608*(3*17)+1，103*2143*11119=2*24061625*(3*17)+1；
3个余因子素数之中只有第2个减1之中含3的平方；

2^55-1=2^(5*11)-1=31*(23*89)*(881*3191*201961)，余因子881=2*8*(5*11)+1，3191=2*29*(5*11)+1，201961=2*1836*(5*11)+1；881*3191=2*25557*(5*11)+1，881*201961=2*1617524*(5*11)+1，3191*201961=2*5858705*(5*11)+1，881*3191*201961=2*5161519113*(5*11)+1；
3个余因子素数之减1之中没有含5的平方的，倒有第3个复合因子减1之中含有因子5的平方；
……

yangchuanju

太阳先生莫再胡思乱想，漫天抛谬论——

两天来，太阳先生先后抛出数个博贴，说什么，
只要(m-1)/a^2=t，即只要2^ab-1的某个余因子m减1能被第一指数a的平方整除，m就是素数。

试看上述各个余因子（包括素因子和复合因子）减1之中有几个含有第一指数的平方？
偶然有某个余因子减1含有第一指数的平方，它也不一定是素数呀？

太阳先生武断的要求a>7，b>7，a不等于b，只是打马虎眼而已；
因为当ab很大时，2^ab-1往往不能被分解到底，
2^ab-1的余因子减1之中有无第一指数的平方，根本无法判断；
况且很难找到含有第一指数平方的余因子！

yangchuanju

2^pq-1型数字因子特性的应用
已经知道梅森数的素因子都是2kp+1型素数，可以根据这一特性预先筛选出一系列2kp+1型素数（或奇数）对该梅森数2^p-1或它的余因子进行试除，从而找到该梅森数或未分解到底的复合因子的其它素因子。

同样，2^pq-1型数字的素因子都是2kpq+1型素数，也可以根据这一特性预先筛选出一系列2kpq+1型素数（或奇数）对该2^pq-1或它的余因子进行试除，从而找到该2^pq-1或未分解到底的复合因子的其它素因子。

太阳先生的判断方法没有任何理论根据，不可用！

太阳

找到一个反例，2^(11×317)-1
(2^3487-1)/(2^317-1)/4743853663339025037720298681963210800010445367319

玉树临风

方向一旦错误，引发的蝴蝶效应真是恐怖

yangchuanju

（三）、指数n是多因子合数时的2^n-1余因子特性
已经查明，当指数n=abc…f时，2^n-1一定能被2^a-1、2^b-1、2^c-1、……、2^f-1；2^ab-1、2^abc-1、……整除，
去掉2^a-1、2^b-1、2^c-1、……、2^f-1的各个素因子，
再去掉2^ab-1、……；2^abc-1、……；等二合、三合、……f合指数的各个余因子，
最后还有一个f合的余因子；
不管这个f合余因子是素数，还是合数，它一定是2k*n+1型数字，
或者说该余因子减1一定能被指数n整除。
在这里，指数的因子a,b,c,……f可以互不相同，也可以部分相同，甚至全部相同。

在这里，该余因子减1一般不会含指数n的最小素因子a的平方；
太阳先生认为含a^2则余因子是素数，否则是合数；纯属无稽之谈。

yangchuanju

（四）、2^n-1中的重因子
对于2^n-1型数字，
当n=2,4,8,10,14,16,20,22,26,28,……时都含素因子3；
当n=6,12,24,30,42,48,60,……都含素因子3的平方；
当n=18,36,72,90,……都含素因子3的立方；
当n=54,108,216,270,……都含素因子3的四次方；
当n=162,……都含素因子3的五次方；……
一句话，当指数n是偶数时，2^n-1总含有素因子3。
换一种说法，
当n是2的1,2,4,5,7,8,10,11，……倍时2^n-1只含一个素因子3，倍数中没有3的倍数；
当n是6的1,2,4,5,7,8,10,11，……倍时2^n-1都含素因子3的平方，倍数中没有3的倍数；
当n是18的1,2,4,5,7,8,10,11，……倍时2^n-1都含素因子3的立方，倍数中没有3的倍数；
当n是54的1,2,4,5,7,8,10,11，……倍时2^n-1都含素因子3的四次方，倍数中没有3的倍数；
当n是162的1,2,4,5,7,8,10,11，……倍时2^n-1都含素因子3的五次方，倍数中没有3的倍数；
……

当指数n是偶数时，都可以分解成[2^(n/2)-1]*[2^(n/2)+1]，总是含有素因子3的；
太阳先生对素因子3不感兴趣，不做深入讨论。

yangchuanju

（五）、对于2^n-1型数字，当n是素数时有一个专有名词——梅森数，
当n等于4,8,12,16，……都含有素因子5，其中的指数n中没有素数，
故梅森数因子之中不会有素因子5；
与5类似，11,13,17,19等也不是梅森因子。

对于2^n-1型数字，
当n=4,8,12,16;24,28,32,36;……时都含素因子5；
当n=20,40,60,80;120,140,160,180;……都含素因子5的平方；
当n=100,200,300,400;600,700,800,900;……都含素因子5的立方；
当n=500,1000,1500,2000;3000,3500,4000,4500;……都含素因子5的四次方；……
一句话，当指数n是4的倍数时，2^n-1总含有素因子5。
换一种说法，
当n是4的1,2,3,4;6,7,8,9;11,12,13,14;，……倍时2^n-1只含一个素因子5，倍数中没有5的倍数；
当n是20的1,2,3,4;6,7,8,9;11,12,13,14;，……倍时2^n-1都含素因子5的平方，倍数中没有5的倍数；
当n是100的1,2,3,4;6,7,8,9;11,12,13,14;，……倍时2^n-1都含素因子5的方，倍数中没有5的倍数；
当n是500的1,2,3,4;6,7,8,9;11,12,13,14;，……倍时2^n-1都含素因子5的四次方，倍数中没有5的倍数；
……

yangchuanju

（六）对于2^n-1型数字，当n=3时是第二个梅森素数7。
当n=3,6,9,12,15,18;24,27,30,33,36,39;……时都含素因子7；
当n=21,42,63,84,105,126;168,189,210,231,252,273;……都含素因子7的平方；
当n=147,294,441,588,735,882;1176,1323,1470,1617,1764,1911;……都含素因子7的立方；
当n=1029,2058,3087,4116,5145,6174;8232,9261,10290,11319,12348,13377;……都含素因子7的四次方；……
一句话，当指数n是3的倍数时，2^n-1总含有素因子7。
换一种说法，
当n是3的1,2,3,4,5,6;8,9,10,11,12,13;……倍时2^n-1只含一个素因子7，倍数中没有7的倍数；
当n是21的1,2,3,4,5,6;8,9,10,11,12,13;……倍时2^n-1都含素因子7的平方，倍数中没有7的倍数；
当n是147的1,2,3,4,5,6;8,9,10,11,12,13;……倍时2^n-1都含素因子7的立方，倍数中没有7的倍数；
当n是1029的1,2,3,4,5,6;8,9,10,11,12,13;……倍时2^n-1都含素因子7的四次方，倍数中没有7的倍数；
……