由 8 个 1、7 个 -1 组成的数列，前 n 项和 Sn≥-1 始终成立，问：有几种不同的排列？

ccmmjj126

有一个有限数列{an},共15项，每一项不是1，就是-1。其中有8个1，7个-1。

现有要求 前n项和  Sn≥-1 始终成立。请问有多少不同的排列？

Treenewbee

1. Length@Select[Permutations@Table[(-1)^n, {n, 0, 14}],
   
2.   Min[Accumulate[#]] > -2 &]

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3432

Ysu2008

目前的数学尚不能给出一个公式，只能掰着手指头数。

luyuanhong

C(15,7)-C(15,5)=6435-3003=3432 。

Treenewbee

1. Table[3*Binomial[2*(n + 1), n]/(n + 3), {n, 1, 20}]

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{3,9,28,90,297,1001,3432,11934,41990,149226,534888,1931540,7020405,25662825,94287120,347993910,1289624490,4796857230,17902146600,67016296620}

\[a_n=\frac{3C_{2(n+1)}^n}{n+3}\]

Treenewbee

\[a_n=C_{2n+1}^n-C_{2n+1}^{n-2}\]

luyuanhong

题  由 n+1 个 1 、n 个 -1 组成的数列，前 k 项和 Sk≥-1 始终成立，问：有几种不同的排列？

解  先不考虑 Sk≥-1 的限制，数列中共有 2n+1 个位置，在其中选 n 个位置放 -1 ，其余位置

自然放 1 ，共有 C(2n+1,n) 种选法，也就是说，共有 C(2n+1,n) 种这样的数列。

    再考虑 Sk≥-1 的限制。任何一个不满足 Sk≥-1 的数列，必定在某一个 k ，首次出现 Sk=-2 。

这时在数列的前 k 项中，必定有 k/2-1 个 1 ，有 k/2+1 个 -1 。

    把这一段的数列中的 1 换成 -1 ，把这一段中的 -1 换成 1 ，这样整个数列中，1 增加了

2 个，-1 减少了 2 个。这就得到了一个由 n+3 个 1 、n-2 个 -1 组成的数列。 这样的

“改换数列”显然有 C(2n+1,n-2) 种。

     每一个不满足 Sk≥-1 的数列，都对应于一个“改换数列”，所以，不满足 Sk≥-1 的数列

有 C(2n+1,n-2) 种。

    扣除不满足 Sk≥-1 的数列种数，就得到满足 Sk≥-1 的数列的种数为

                    C(2n+1,n)-C(2n+1,n-2) 。

    例如，当 n=7 ，即有 8 个 1 ，7 个 -1 时，满足 Sk≥-1 的数列的种数为

                     C(15,7)-C(15,5) = 3432 。

cgl_74

看了很多人都用计算机进行证明和求解，不禁感叹，现在计算机对普通人的替代是越来越明显了！
但同时也有很大风险，因为计算机无法解决真正的难题，无法真正从有限跨越到无限，也很难创立新的数学理论。
简而言之，计算机无法替代杰出人物的工作，但人们太依赖AI之后，可能再也无法诞生杰出人物，从而锁死人类的智力水平。有可能人就被卡死在地球上，在虚拟世界享受着生活。
为啥现在还发现不了外星人的痕迹呢？有可能外星人都被锁死在自己的星球上呢。

王守恩

[quote]luyuanhong 发表于 2023-6-4 09:29
题  由 n+1 个 1 、n 个 -1 组成的数列，前 k 项和 Sk≥-1 始终成立，问：有几种不同的排列？

谢谢陆老师！ 数字串(1)与数字串(2)还是有联系的。
数字串(1):

1. Table[(2 n + 1)!/(n! (n + 1)!) - (2 n + 1)!/((n - 2)! (n + 3)!), {n, 1, 17}]

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{3, 9, 28, 90, 297, 1001, 3432, 11934, 41990, 149226, 534888, 1931540, 7020405, 25662825,  

数字串(2):

1. Table[(2 n)!/(n! (n)!) - (2 n)!/((n - 1)! (n + 1)!), {n, 0, 17}]

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{1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845,