有理数 a 的十进制小数表示中，小数点后出现 2021 四个连续数字，求 a 的分母的最小值

abc666zs

一道数论题目，或将很有拓展性

设a是有理数且a的十进制小数表示中，小数点后连续出现了2021四个数字，求a的分母的最小值
、
本题答案是94，选取19除以94＝0.20212765957……，

但是为什么是94呢，如何写出让人信服的步骤呢，恳求各位老师的帮助

Treenewbee

显然a=p/q比1/5略大。

\[0.2022 > n/(5 n - 1) > 0.2021\]---->n=19
\[0.2022 > n/(5 n - 2) > 0.2021\]----->n=37,38

abc666zs

Treenewbee 发表于 2023-6-4 13:31
显然a=p/q比1/5略大。

\[0.2022 > n/(5 n - 1) > 0.2021\]---->n=19

没有看懂啊老师，能否写详细一点呢

Treenewbee

0.2022>p/(5p-k)>0.2021
2022(5p-k)>10000p>2021(5p-k)

110p-2022k>0>105p-2021k

2021k/105>p>2022k/110

19.2476k>p>18.3818k

令k=1,得p=19

时空伴随者

与时俱进，如果是2023或2025呢？

Treenewbee

0.2024>p/(5p-1)>0.2023----->p=17

0.2026>p/(5p-1)>0.2025----->p=16

时空伴随者

题目拓展，有理数a的十进制表示小数点后4位，扩展到6位、8位、10位甚至更多的位数固定，后面的位数可变，a的分母最小值总是存在的，怎样求呢？以6位为例来说明一下。
例一，设a=0.202122···，由于1/5<a<1/4，且1/5<2/9<1/4，
将两边分数，分子与分子相加，分母与分母相加，得2/9=0.222222···与a比较。
若大于，用2/9代替右边1/4，若小于则代替左边1/5。
重复以上步骤，直到相等为止。所得分母即为所求（证明略）。
所有中间项为
2/9=0.2222222222222222
3/14=0.21428571428571427
4/19=0.21052631578947367
5/24=0.20833333333333334
6/29=0.20689655172413793
7/34=0.20588235294117646
8/39=0.20512820512820512
9/44=0.20454545454545456
10/49=0.20408163265306123
11/54=0.2037037037037037
12/59=0.2033898305084746
13/64=0.203125
14/69=0.2028985507246377
15/74=0.20270270270270271
16/79=0.20253164556962025
17/84=0.20238095238095238
18/89=0.20224719101123595
19/94=0.20212765957446807
20/99=0.20202020202020202
39/193=0.20207253886010362
58/287=0.20209059233449478
77/381=0.2020997375328084
96/475=0.20210526315789473
115/569=0.20210896309314588
134/663=0.20211161387631976
153/757=0.202113606340819
172/851=0.20211515863689777
191/945=0.2021164021164021
210/1039=0.20211742059672763
229/1133=0.20211827007943514
248/1227=0.20211898940505296
267/1321=0.20211960635881907
286/1415=0.2021201413427562
305/1509=0.20212060967528164
324/1603=0.20212102308172178
343/1697=0.20212139068945198
362/1791=0.20212171970965942
381/1885=0.20212201591511936
1885为最小值

时空伴随者

例二，a=0.3012···，1/4<a<1/3
2/7=0.2857142857142857
3/10=0.3
4/13=0.3076923076923077
7/23=0.30434782608695654
10/33=0.30303030303030304
13/43=0.3023255813953488
16/53=0.3018867924528302
19/63=0.30158730158730157
22/73=0.3013698630136986
25/83=0.30120481927710846
例三，a=0.20230608···，1/5<a<1/4
2/9=0.2222222222222222
3/14=0.21428571428571427
4/19=0.21052631578947367
5/24=0.20833333333333334
6/29=0.20689655172413793
7/34=0.20588235294117646
8/39=0.20512820512820512
9/44=0.20454545454545456
10/49=0.20408163265306123
··· ···
19528/96527=0.20230609052389487
19721/97481=0.20230609041761985
19914/98435=0.2023060903134048
20107/99389=0.20230609021119036
20300/100343=0.20230609011091955
20493/101297=0.20230609001253738
20686/102251=0.20230608991599106

abc666zs

Treenewbee 发表于 2023-6-6 14:07
0.2022>p/(5p-k)>0.2021
2022(5p-k)>10000p>2021(5p-k)

感谢老师的回答!

abc666zs

时空伴随者 发表于 2023-6-8 12:36
题目拓展，有理数a的十进制表示小数点后4位，扩展到6位、8位、10位甚至更多的位数固定，后面的位数可变，a ...

感谢老师做出的答复!