设 x,y,z 为正实数，已知 xyz=1，证明：x／y+y／z+z／x ≥ x+y+z

wintex · 发表于 2023-6-8 11:45

本帖最后由 wintex 于 2023-8-9 21:37 编辑

设 x,y,z 为正实数，已知 xyz=1，证明：x／y+y／z+z／x ≥ x+y+z

Nicolas2050 · 发表于 2023-6-9 06:40

本帖最后由 Nicolas2050 于 2023-6-9 07:08 编辑

柯西-施瓦茨不等式

wintex · 发表于 2023-8-8 20:12

Nicolas2050 发表于 2023-6-9 06:40
柯西-施瓦茨不等式

請問這柯西怎麼用

cgl_74 · 发表于 2023-8-8 23:21

一个基础的方法是用消元法和2元导数，并辅助解一个简单的2元高次方程组，可以求证。
这个要求基础扎实，方法也不见得巧妙，但是管用；不用记住太多的定理。

天山草 · 发表于 2023-8-9 07:15

本帖最后由天山草于 2023-8-9 07:17 编辑

可用拉格朗日乘数法证明这个不等式。

这个方法虽然笨，但是比较通用和有效，很多情况下都能成功。

luyuanhong · 发表于 2023-8-9 08:35

楼上天山草的解答已收藏。

cgl_74 · 发表于 2023-8-9 11:18

天山草发表于 2023-8-8 23:15
可用拉格朗日乘数法证明这个不等式。

指出2个不完整或不严谨的地方：
1、导数为0，只是函数存在最值的一个检查点。应该检查函数的边界，确认最值的分布。
2、导数方程组是高次方程组，应该求出所有解，进行检查。而不是找到一组解就下结论。

cgl_74 · 发表于 2023-8-9 19:39

我来给一个完整的解法：

luyuanhong · 发表于 2023-8-9 20:09

楼上 cgl_74 的解答已收藏。

liangchuxu · 发表于 2023-9-14 14:59

给出此题一种初等证明方法。

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