Rt△ABC 中，∠B=90°，AB=4，BC=8，∠BCD=∠ADC=2∠ACB，求 AD 。

uk702

如图，Rt△ABC 中，∠B=90°，AB=4，BC=8，D 是与 A 异侧的一点且满足 ∠BCD=∠ADC=2∠ACB，求 AD 。

王守恩

\(\tan(∠ACB)=\frac{4}{8}\Rightarrow\sin(2∠ACB)=\frac{4}{5},\sin(3∠ACB)=\frac{11}{5\sqrt{5}}\)

\(\frac{AC=\sqrt{4^2+8^2}}{\sin(2∠ACB)}=\frac{AD=11}{\sin(3∠ACB)}\)

天山草

利用复斜率的定义做此题：

王守恩

\(\tan(∠ACB)=\frac{4}{8}\Rightarrow\sin(4∠ACB)=\frac{24}{25},\cos(4∠ACB)=\frac{7}{25}，O为AD与BC交点。\)

\(\frac{AB=4}{\sin(4∠ACB)}=\frac{BO=7/6}{\cos(4∠ACB)}=\frac{OA=25/6}{\sin(90)}\Rightarrow AD=8-7/6+25/6=11\)

王守恩

看到题目,先得有想法(笨一点也行)。

\(\tan(∠ACB)=\frac{4}{8}\Rightarrow\sin(2∠ACB)=\frac{4}{5},\sin(4∠ACB)=\frac{24}{25},\)

\(1=\frac{\sin(∠ACB)*\sqrt{80}*(k\sin(2∠ACB))}{\sin(2∠ACB)*(k\sin(4∠ACB)*\sqrt{4^2+(8-k\sin(2∠ACB))^2}}\Rightarrow k=\frac{205}{24}\)

\( AD=k\sin(2∠ACB)+\sqrt{4^2+(8-k\sin(2∠ACB))^2}=11\)

uk702

这是目前找到的最几何的解法。