椭圆 x^2/a^2+y^2/b^2=1 内接等腰三角形 ABC 底边平行于 x 轴，求 ΔABC 面积最大值

dodonaomikiki

2023   \(\blacksquare \)     厦门大学强基，等腰三角形ABC之面积最大值

请看题目

dodonaomikiki

一时半会儿，
想不到解决的思路是什么

H2SO4Cat

由对称性可知顶点必在\(\left( 0{,}\sqrt{2}\right)\)
然后设出底边，算出其他两点的坐标，表示面积后求最值
很粗暴的思路，没具体算过

luyuanhong

下面是我过去在《数学中国》发表过的一个帖子，可供参考：

永远

luyuanhong 发表于 2023-6-21 12:10
下面是我过去在《数学中国》发表过的一个帖子，可供参考：

请问椭圆内接n边形面积的最大值？？

H2SO4Cat

永远 发表于 2023-6-21 13:16
请问椭圆内接n边形面积的最大值？？

按照上述方法，对椭圆进行仿射变换，变为\(x^2+y^2=a^2\)的圆
易证当n边形为圆内接正n边形时面积最大，又因为\(\frac{S}{S'}=\frac{b}{a}\)
所以Smax=\(\frac{b}{a}S'=\frac{b}{a}\cdot n\cdot\frac{1}{2}\sin\frac{2\pi}{n}\cdot a^2=\frac{n}{2}ab\sin\frac{2\pi}{n}\)

dodonaomikiki

后面通过制图发现，
如若这样直愣愣的【仿射】，就会得到错误结果！
、


所以，从左图这个角度上来说，
此题也不是很简单的！
作为强基题目，很有道理啊

dodonaomikiki

所以这么来看嘛，
运用公式也是蛮好！
\(AREA=2\sqrt{2}  \bullet  \frac{3 \sqrt{3}    }{4}= \frac{3 \sqrt{6}    }{2}\)