反转 回文 倒置数字和素数——有趣的自然数及其性质（八）

yangchuanju

反转 回文 倒置数字和素数

将数字abc，从右到左倒过来读就是cba，这种数字被称为emirp{埃米普斯}
如果abc是一个素数，cba也是一个素数，则它俩就是一对emirp素数。
或许emirp专指素数。

对于数字abcba，从右到左倒过来读还是abcba，这种数字被称为回文数字palindromic；如果它是素数则为回文素数。

数字0、1和8倒过了还是0、1和8；数字6倒过了变成9，9倒过了变成6；因此0,1,8,6,9可称为“可倒置数字”。
请看1061，1601，1901，1091有些什么花招！

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Emirps  
反转素数  （百度译作）埃米普斯

A number is called emirp if it is prime and if its reverse is a different prime, thus excluding palindromic primes.
如果一个数是素数并且它的逆数是不同的素数，则该数被称为 emirp，从而排除回文素数。

For example, the prime 31 is also an emirp, since 13 is prime as well.
例如，素数 31 也是一个 emirp，因为 13 也是素数。

The smallest 3 × 3 magic square whose entries are emirps is
条目为 emirps 的最小 3 × 3 幻方是
17207        18731        16493
16763        17477        18191
18461        16223        17747

The first emirps are 最初的（最小的、第一个） emirp 是：
13, 17, 31, 37, 71, 73, 79, 97, 107, 113, 149, 157, 167, 179, 199, 311, 337, 347, 359, 389, 701, 709, 733, 739, 743, 751 more terms


Useful linksMathworld, Emirp
Wikipedia, Emirp
OEIS, sequence A006567

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Emirpimeses  （百度译作）埃米皮米塞斯
从字面看应是反转素数，实际上它们是反转半素数

A number is called emirpimes if it is a semiprime and if its reverse is a different semiprime, thus excluding palindromic semiprimes.
如果一个数是半素数并且其相反数是不同的半素数，则该数被称为半素数，因此不包括回文半素数。

For example, 155=5*31 is also an emirpimes, since its reversal is another semiprime 511=19*29.
例如155=5*31是一个 emiprime ，因为它的反转是另一个 semiprimes（半素数）511=19*29。

The smallest 3 × 3 magic square of emirpimes that remain magic when all the entries are reversed is
当所有条目都颠倒时仍然保持魔力的最小 3 × 3 emirpime 魔方是
3635        7367        2603                5363        7637        3062
3503        4535        5567                 3053        5354        7655
6467        1703        5435                7646        3071        5345

The first emirpimeses are 15, 26, 39, 49, 51, 58, 62, 85, 93, 94, 115, 122, 123, 129, 143, 155, 158, 159, 169, 177, 178, 183, 185, 187, 203, 205 more terms

Useful linksMathworld, Emirpimes
OEIS, Sequence A097393

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Palindromes  回文数

A number is palindromic in base b (usually base 10) if the representation in that base is the same read from the right or from the left, as in 1257521, or in (1001)2 which is the representation of 9 in base 2.
如果一个数字在基数b(通常是基数10）中的表示形式与从右或从左读的相同，如 1257521，或者(1001)2是数字9 在基数2中的表示形式，则该数字是回文数。

A palindrome is nontrivial if it has more than one digit.
如果回文数超过一位数字，那么它就 不是平凡的。

The first such numbers (in base 10) are 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99, 101, 111, 121, 131, 141, 151, 161, 171, 181, 191, 202 more terms

Useful linksPatrick De Geest, World of Numbers a website dedicated to palindromes
Mathworld, Palindromic Number
OEIS, Sequence A002113

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Palprimes  回文素数

A prime number p is a palprime if is it also palindromic, like 7, 101, or 1114111.
如果素数p也是回文数，例如 7、101 或 1114111，则该素数p是palprime 。

Clearly the property of being palindromic depends on the base. In base 10, all the palprimes except 11 have an odd number of digits, because all palindromes with an even number of digits are divisible by 11.
显然，回文性质取决于基数。在基数10中，除了11之外的所有回文数都是奇数位，因为所有偶数位的回文都可以被11整除。

A few palindromic primes with palindromic index are knew. They are p1=2,p2=3,p3=5,p4=7,p5=11,p8114118=143787341 and  p535252535=11853735811.
一些具有回文索引（素数号码）的回文素数是已知的。它们是p1=2、p2=3、p3=5、p4=7、p5=11、p8114118=143787341和  p535252535=11853735811。

The first palindromic primes (palprimes) are 2, 3, 5, 7, 11, 101, 131, 151, 181, 191, 313, 353, 373, 383, 727, 757, 787, 797, 919, 929, 10301, 10501, 10601, 11311, 11411, 12421 more terms

Useful linksMathworld, Palindromic Prime
Wikipedia, Palindromic Prime
OEIS, Sequence A002385

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Bemirps  倒置素数  （百度译作）贝米普斯

A number is called bemirp (short for bi-directional emirp) if it yields a different prime when turned upside down with reversals of both being two more different primes.
如果一个数字在颠倒过来时产生不同的素数，并且两个以上的素数反转，则该数称为 bemirp（双向 emirp 的缩写）。

For example, 168601 produces 106861, 198901 and 109891.
例如，168601 会生成 106861、198901 和 109891。

The only digits allowed in a bemirp are 0, 1, 6, 8 and 9.
bemirp 中允许的唯一数字是 0、1、6、8 和 9。

Every number greater than 40258 can be written as the sum of bemirps.
每个大于 40258 的数字都可以写成 bemirps 之和。

The first bemirps are 1061, 1091, 1601, 1901, 10061, 10091, 16001, 19001, 106861, 109891, 168601, 198901, 1106881, 1109881 more terms

Useful linksThe Prime Glossary, Bemirp
OEIS, sequence A048895

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下面我们只关心与倒置素数有关的几个网页
A048895
Bemirps: primes that yield a different prime when turned upside down with reversals of both being two more different primes.
Bemirps：当颠倒时产生不同素数的素数，并且两者反转为两个以上不同的素数。
1061, 1091, 1601, 1901, 10061, 10091, 16001, 19001, 106861, 109891, 168601, 198901, 1106881, 1109881, 1606081, 1806061, 1809091, 1886011, 1889011, 1909081, 10806881, 10809881, 11061811, 11091811, 11609681, 11698691, 11816011, 11819011, 11906981

A177136
a(k) is the smallest k-digit bemirp (A048895).
a(k) 是最小的 k 位 bemirp (A048895)。
1061, 10061, 106861, 1106881, 10806881, 100688611, 1006088861, 10000169111, 100006601911, 1000000810681, 10000000001161, 100000010086091, 1000000006096691, 10000000001016101, 100000000069088101, 1000000000016106811, 10000000000060088191, 100000000000008608611

A177137
a(n) is the largest n-digit bemirp (A048895).
a(n) 是最大的 n 位 bemirp (A048895)。
1901, 19001, 198901, 1909081, 19986091, 199800091, 1999880101, 19999919011, 199999069901, 1999998661891, 19999999196861, 199999990066801, 1999999999899101, 19999999999898161, 199999999998806191, 1999999999999988911, 19999999999998191191, 199999999999986661691

A145750
Primes which become emirps when rotated by 180 degrees on a digital clock display.
当在数字时钟显示上旋转 180 度时，素数会变成 emirps。
661, 1061, 1091, 1181, 1601, 1811, 1901, 6011, 6991, 10061, 10091, 10861, 11681, 16001, 16981, 19001, 19961, 60601, 60611, 69001, 106861, 108161, 108881, 109891, 110881, 116881, 116911, 118081, 118861, 119101, 119611, 160861, 161611, 168601, 169691

A159064
Emirps which remain primes when rotated by 180 degrees on a digital clock display.
Emirps 在数字时钟显示器上旋转 180 度时仍保持素数。
199, 1061, 1091, 1109, 1181, 1601, 1669, 1811, 1901, 10061, 10069, 10091, 10909, 11909, 16001, 18691, 18911, 19001, 19661, 19801, 101119, 101611, 106681, 106699, 106861, 108881, 109609, 109891, 110119, 110881, 110989, 111119, 111869, 111919, 116911

A335731
Bemirps that also interpret 2 and 5 as upside-down forms of each other, assuming a digital font.
Bemirps 也将 2 和 5 解释为彼此颠倒的形式，假设是数字字体。
1061, 1091, 1601, 1901, 10061, 10091, 16001, 19001, 106861, 109891, 110651, 110921, 120121, 121021, 121921, 129011, 129121, 150151, 151051, 151651, 156011, 156151, 168601, 198901, 1022591, 1026521, 1028011, 1055261, 1058011, 1059251, 1069291, 1096561, 1102891, 1105861, 1106881, 1108201, 1108501, 1109881, 1111651

yangchuanju

yangchuanju 发表于 2023-7-6 05:18
Bemirps  倒置素数  （百度译作）贝米普斯

A number is called bemirp (short for bi-directional emirp ...

Bemirps 不应简单地译作“倒置素数”，按照它的真正含义是双向 emirp 的缩写；即含左右反转，又包括上下反转。
例素数1061，左右反转成素数1601，是emirp；1061上下反转成素数1091，是另一种emirp；1091再左右反转成素数1901；总的操作共得到4个素数。

4位素数共有1229-168=1061个素数，其中的emirp素数204个，两两一对（1009-9001；1021-1201等）：
A006567
反转素数
37 1009    38 1021
39 1031    40 1033
41 1061    42 1069
43 1091    44 1097
…………
239 9941    240 9967

然而4位Bemirps就1061,1091,1601,1901一组。
另5位Bemirps有一组：10061, 10091, 16001, 19001；
6位Bemirps有一组：106861, 109891, 168601, 198901；
7位Bemirps有两组：1106881, 1109881, 1886011, 1889011； 1606081, 1806061, 1809091, 1909081
8位Bemirps有九组：
21 10806881        22 10809881        43 18860801        44 18890801
23 11061811        24 11091811        27 11816011        28 11819011
25 11609681        29 11906981        42 18690611        48 18960911
26 11698691        30 11968961        36 16986911        54 19689611
31 16061681        38 18616061        46 18919091        52 19091981
32 16098661        34 16689061        51 19068991        56 19986091
33 16166681        41 18666161        53 19199981        50 18999191
35 16880681        37 18608861        45 18908891        55 19880981
39 18616681        40 18661681        47 18919981        49 18991981
【附注：表中数字的前2位数为A048895的编号】

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除了左右反转、上下反转外，对于某些数字还可以绕中心点旋转108度；旋转180度后数字0,1,8仍然是0,1,8；数字6变成9、9变成6。
这种旋转180度的操作也有专用名称——rotated（旋转），
A048890给出10000个旋转后生成不同素数的素数，其中2位素数2个（1对）19和61；3位素数4个（2对）109、601和199、661；4位素数22个；……
A007597给出10000个旋转后不变的素数（Strobogrammatic primes频闪素数），其中2位的1个——11；3位的3个——101、181、619；4位的0个（没有）；5位的4个——16091、18181、19861、61819；……

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对于某些素数进行上下反转操作称之为Reflectable primes（可反射素数），
A125308给出10000个仅含数字0,1,3,8的可反射素数（沿其书写线进行镜面反射时不变的素数）
3, 11, 13, 31, 83, 101, 103, 113, 131, 181, 311, 313, 331, 383, 811, 881, 883, 1013, 1031, 1033, 1103, 1181, 1301, 1303, 1381, 1801, 1811, 1831, 3001, 3011, 3083, 3181, 3301, 3313, 3331, 3803, 3833, 3881, 8011, 8081, 8101, 8111, 8311, 8803, 8831, 10103 ……

A007628给出10000个可反射emirp（素数）
13, 31, 113, 311, 1031, 1033, 1103, 1181, 1301, 1381, 1811, 1831, 3011, 3083, 3301, 3803, 10333, 11003, 11083, 11833, 18013, 18133, 18803, 30011, 30881, 31033, 31081, 31183, 33013, 33181, 33301, 33811, 38011, 38113……

A178318给出1000个含数字0,1,2,5,8的可反射素数（穿过数字中间的垂直线反射后仍保持素数的素数，数字被写为数字时钟样式数字2变成5、5变成2）
2, 5, 11, 101, 181, 1051, 1181, 1201, 1811, 10151, 11251, 11551, 12101, 12211, 12511, 15121, 18181, 100151, 100501, 10150 1、101581、102001、102101、102181、102551、 105211, 105251, 108881, 110051, 110581, 110881, 111521, 111581, 115021, 115201……