【资料】妥园魅力SHOW之二， 明年厦门

dodonaomikiki

请看题目

Future_maths

这个题目很容易。

dodonaomikiki

Future老师：


相当麻烦！
不容易！



当然，如果知道套路呢，
也不是很难！
我已经【自己】演进了一遍，
确实有点麻烦，
因为工作在身，，我到时候传上来！

Future_maths

作一个仿射变换，将两个椭圆变成两个同心圆，OAPB在变换前后都是平行四边形，而且变换后平行四边形变成了菱形，而且菱形的每条边及对角线为定值，所以四边形OAPB的面积为定值。

dodonaomikiki

Future老师

我现在，加以总结回顾
1、  感觉椭圆计算太疯狂，
尤其考试的时候，时间设限，令人抓狂有时候【体力】
2、一些套路，有时候也不简单！
在有限的时间内，急速想出来对普通学生绝对谈不上容易【脑力】
3、就是高三月考，模考，
往往也是令人紧张的心里一点不慌不忙的，也没几个【心理】


总结来看，如果进入考场做这种题目，
也不容易，
我看到网路上说，
有几次模考，湖南省【教育强省】数学平均分只有40多分
椭圆题目比较少作为压轴题，
但是总体难度也蛮大



只不过这里不一样，
时间充裕过头可以慢慢计算，
慢慢思考

dodonaomikiki

\begin{align*}

\frac{  x_N^2   }{   8}   +  \frac{  y_N^2   }{   6}   &=1\\

And,   \begin{cases}        x_N=\sqrt{2}x           \\       y_N=\sqrt{2}y           \end{cases}\\

\Longrightarrow  \frac{  2x^2   }{   8}   +  \frac{  2y^2   }{   6}   &=1\\
\Longrightarrow      \Gamma: \frac{  x^2   }{   4}   +  \frac{  y^2   }{   3}   &=1\\

  



\end{align*}

dodonaomikiki

\begin{align*}


Set:  \ell_{AB}:   y &=kx+t    \\
Insert    \qquad     it  \qquad      into     \qquad     \Gamma:\\
\frac{  x^2   }{   4}   +  \frac{  k^2x^2  +2ktx+t^2 }{   3}   &=1\\
\Longrightarrow     3x^2  +4 k^2x^2+8ktx+4t^2-12 &=0\\
(3+4k^2)x^2+8ktx+(4t^2-12) &=0\\


Set:A(x1,y1),B(x2,   y2)\\
\Delta &=64k^2t^2-4(3+4k^2)(4t^2-12)\\
&=16[ 4k^2t^2-(3+4k^2)(t^2-3)   ]\\
&=16[(12k ^2 -3t^2  +9)\\


And,    \begin{cases}           x1+x2 =  \frac{   -8kt}{3+ 4k^2  }          \\       x1x2=   \frac{  4t ^2-12   }{3+ 4k^2  }     \\           \end{cases}\\
\Longrightarrow     y1+y2 &=k(x1+x2)+2t\\
&=  \frac{   -8k^2t}{3+ 4k^2  } +2t\\
&=  \frac{   -8k^2t +6t+ 8k^2t       }{3+ 4k^2  } \\
&= \frac{   6t    }{3+ 4k^2  } \\


\end{align*}

dodonaomikiki

\begin{align*}
  \overrightarrow  {OP                }&=     \overrightarrow  { OA}   + \overrightarrow  {OB}\\
&=(x1+x2,   y1+y2)\\

&=(  \frac{   -8kt}{ 4k^2+3  }   ,    \frac{  6t   }{ 4k^2+3  }      )\\
And     \qquad   point     \qquad     P     \qquad    is     \qquad    on    \qquad      the    \qquad     ellipse     \qquad    C:\\
\Longrightarrow     \frac{   64k^2t  ^2  }{  8}   +\frac{   36t^2  }{   6}&=(  4k^2+3    )^2\\
~~~~【可能无法继续计算下去】~~~~\\
8k^2t^2+6t^2&=(  4k^2+3    )^2\\
t^2(8k^2+6)&=(  4k^2+3    )^2\\
t^2 \bullet  2  \bullet  (  4k^2+3    ) &=(  4k^2+3    )^2\\
2t^2&= 4k^2+3   \\

\Longrightarrow   \\
\Delta&  =64k^2t^2-4  \bullet  2t^2(4t^2-12)\\
&=16(2t^2-3)  \bullet  t^2-8t^2(4t^2-12)\\
&=16t ^2  \bullet      2t^2  -16t^2   \bullet      3-32t ^4 +96t^2\\
&=48t ^2  \succ  0\\

\Longrightarrow    \Bigg |   AB  \Bigg|\\
&=\sqrt{1+k^2}   \Bigg |   x2-x1 \Bigg|\\
&=\sqrt{1+k^2}   \bullet    \sqrt{ ( x1+x2)^2  -4x1x2}\\
&=\sqrt{1+k^2}   \bullet  \frac{  \sqrt{ \Delta}}{ 4k^2+3   }\\
&=\sqrt{1+k^2}   \bullet  \frac{  \sqrt{48m^2}}{ 4k^2+3   }\\

\end{align*}

dodonaomikiki

做到这里，人就觉得烦躁，
人就变得浮躁~~~
很多人接不住这个椭圆~~~~
计算令人心情烦躁

dodonaomikiki

\begin{align*}


O到直线AB之距离
\ell_{AB}:  kx-y  +m&=0\\
   \Longrightarrow        d&=\frac{     \Bigg |   m  \Bigg|      }{       \sqrt{k^2   +1}  }\\
   \Longrightarrow     Area(  OAPB)&=\frac{     \Bigg |   m  \Bigg|      }{       \sqrt{k^2   +1}  }  \bullet    \sqrt{1+k^2}   \bullet  \frac{  \sqrt{48m^2}}{ 4k^2+3   }\\
&=\frac{    \Bigg |   m  \Bigg|    \sqrt{48m^2}     }{   2m^2}\\
&=\frac{4  \sqrt{3}}{2}\\
&=2   \sqrt{3} \\



\end{align*}