设 a,b∈[1,2] ，求 (3a^2+3b^2)／(3ab-1) 的最大值

ccmmjj126

不等式的题目需要很多精妙的代数技巧，所以有专门的研究团体。一般我是不敢碰的，七夕节的时候，上网看到一道题目，觉得形式简单对称，就做了一下，没想到十分难做。就此请教一下网友，有没有简单，好的方法？

luyuanhong

王守恩

1,\(在函数式中，a,b地位是对称的。\frac{ 3a^2+3b^2}{3ab-1}=\frac{3a^2+3a^2}{3a^2-1}=\frac{6a^2}{3a^2-1}\)

2,\(\frac{6a^2}{3a^2-1}的最大值=\frac{3a^2-1}{6a^2}的最小值。\frac{3a^2-1}{6a^2}=\frac{3a^2}{6a^2}-\frac{1}{6a^2}=\frac{1}{2}-\frac{1}{6}=\frac{1}{3}\)

3, \(\frac{3a^2+3b^2}{3ab-1}的最大值=\frac{1}{1/3}=3\)

ccmmjj126

王守恩网友的做法是猜测，不是严谨的数学。陆老师的解法是真正的数学手法，但不适合中学生。再看看还有没有网友能给出好方法。

Treenewbee

若\[a=b\]:

\[\frac{ 3a^2+3b^2}{3ab-1}=\frac{6a^2}{3a^2-1}=2+\frac{2}{3a^2-1}<=3,此时a=b=1\]

若\[a<>b\]:
令\[a=c+k,b=c-k,则有|k|<=1/2,等号成立条件c=3/2\]
\[\frac{ 3a^2+3b^2}{3ab-1}=2+\frac{12k^2+2}{3c^2-3k^2-1}<=2+\frac{12*1/4+2}{3*(3/2)^2-7/3}=3,此时(a,b)=(1,2) or (2,1)\]

Future_maths

cgl_74

又到了猜猜猜的时间了吗？
只有2楼陆老师的做法是正确的，数学工具也选用得当！
讲心里话，中学生要做这个题目了，还是要提高知识储备，多学点！否则，就算是猜出来答案，或者找到一种所谓的巧妙解法，那也是凑出来的，不具备重复性。换个数据，估计就傻眼了。花很多时间去凑答案，找技巧，殊不知最好的技巧就是那些新的数学知识和工具。

luyuanhong

在函数式  (a^2+b^2)/(ab) = a/b+b/a 中，a,b 的地位是对称的。

能不能说：当 a=b 时，a/b+b/a 取到最大值？

当 a=b 时，a/b+b/a = a/a+a/a = 2 。

可是，当 a=1 ，b=2 时，a/b+b/a = 1/2+2/1 = 2.5 ＞2 。

可见，说“当 a=b 时，a/b+b/a 取到最大值” 是不对的。

其实，在 a,b＞0 的范围内，当 a=b  时， a/b+b/a 取到的不是最大值，而是最小值。

ccmmjj126

我使用先猜测，再严格证明的方法解决这个问题。这是做数学的通常方法，也是严格的方法。猜测部分与王网友并无二致，只是在用分析方法严格证明后，猜测的部分完全可以隐去，甚至可以写成一个漂亮的综合证明。

luyuanhong

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