已被证明：设n为整数，当n能被5整除时n度角是特殊角。反之成立吗？

danliu

如果一个整数度角的正弦值可以通过整数的有限次加、减、乘、除和 n 次开方根（n 为正整数）获得其准确值，那么这个角就叫做特殊角。

众所周知的特殊角有 0度、30度、45度、60度、90度等。

我已经证明了 10 度，从而5度，也是特殊角：

根据著名的三角恒等式 sin(3*a)=3*sin(a)-4*(sin(a))^3 我们知道 sin(10) 是以下方程的一个根：

-4*x^3+3*x-1/2=0

它的全部 3 个根可由卡达诺公式给出，其中一个是

- 1/(8*((3^(1/2)*1i)/16 - 1/16)^(1/3)) - ((3^(1/2)*1i)/16 - 1/16)^(1/3)/2 + (3^(1/2)*(1/(4*((3^(1/2)*1i)/16 - 1/16)^(1/3)) - ((3^(1/2)*1i)/16 - 1/16)^(1/3))*1i)/2

约等于 0.1736 + 0.0000i

这个带根号的解就是 sin(10)，因此 10 度是一个特殊角，所以它的一半 5 度也是一个特殊角。一般来说，能被 5 整除的整数角都是特殊角，如 5、10、15、20、25、30 等等。

除此之外，还有其它整数特殊角吗？我猜测没有，尤其是 1 度不是一个特殊角。但我无法证明这一点。有人能证明吗？

Treenewbee

按你的定义，任意整数度均为特殊角，如：

\[sin3°=\frac{(\sqrt5-1)(\sqrt6+\sqrt2)-2(\sqrt3-1)(\sqrt{5+\sqrt5})}{16}\]

\[\sin 1^\circ = \frac12\sqrt{2-\sqrt{2+\frac{4+\sqrt[3]{8+8\sqrt{5}-4\sqrt{30+6\sqrt{5}}+4\sqrt{150+30\sqrt5}+\left(-2\sqrt2+2\sqrt{10}+4\sqrt{15+3\sqrt5}\right)\sqrt{-14+2\sqrt5-\sqrt{30+6\sqrt{5}}+\sqrt{150+30\sqrt5}}}}{2\sqrt[3]{-1+\sqrt5+\sqrt{30+6\sqrt5}+\sqrt{-28+4\sqrt5-2\sqrt{30+6\sqrt{5}}+2\sqrt{150+30\sqrt5}}}}}}\]

danliu

谢谢，你牛。

danliu

新猜想：弧度角a是特殊角当且仅当a可以表示为a=b*pi，其中b为有理数，pi为圆周率。

例如，1弧度就不是特殊角，即sin(1) 没有根号表达（证明不了，猜想而已）