多项式 f(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+d，已知 f(1)=98，f(2)=197，f(3)=296，求 f(8)+f(-4)

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luyuanhong

天山草

令  f (x) = x^4 + a x^3 + b x^2 + c x + d;
解方程组 f(1)= 98,  f(2)= 197,  f(3)= 296 得到  
b = -6 a - 25;  c = 11 a + 159; d = -6 a - 37;
令 a = 0，代入上面三式得  b = -25;  c = 159;  d = -37;
因此符合要求的多项式可以是  f (x) = x^4 - 25 x^2 + 159 x - 37;
由此算出  f(8) + f(-4) = 3731 - 817 = 2914。


当然也可以令 a 等于其它整数，例如 a = 1 时，符合要求的多项式为
  f (x) = x^4 + x^3 - 31 x^2 + 170 x - 43;
由此算出  f(8) + f(-4) = 3941 - 1027 = 2914。

luyuanhong

楼上 天山草 的解答也很好！已收藏。

mathmatical

收藏，天山草，陆老师的解答，答案不是唯一的式子！

luyuanhong

波斯猫猫

已知多项式 f(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+d，且 f(1)=98，f(2)=197，f(3)=296，求 f(8)+f(-4)。

思路：因f (x) = x^4 + a x^3 + b x^2 + c x + d，由 f(1)= 98,  f(2)= 197,  f(3)= 296 解得

b = -6 a - 25;  c = 11 a + 159; d = -6 a - 37。

故 f(8) + f(-4) =8^4 +  8^3 a+  8^2 b+ 8c + d+4^4 +-4^3a +  4^2b -4c  + d

=448a+80b+4c+2d+4352=448a+80(-6 a - 25)+4(11 a + 159)+2(-6 a - 37)+4352

=2914.

天山草

6# 楼陆教授分析的很对！ 如果求 \(f(8)+f(-3)\)，结果就不是常数了，而是 \(90 a+3073\)。

波斯猫猫

天山草 发表于 2023-10-3 13:53
6# 楼陆教授分析的很对！ 如果求 \(f(8)+f(-3)\)，结果就不是常数了，而是 \(90 a+3073\)。

为啥做那样的分析？