x^2+y^2-√3xy=z^2+w^2+√3zw=1，y^2+z^2-yz=w^2+x^2+wx=3，求 xz+yw。

波斯猫猫

题：x^2+y^2-√3xy=z^2+w^2+√3zw=1，y^2+z^2-yz=w^2+x^2+wx=3，求 xz+yw（仅为方便书写）。

原题：3x^2+y^2-3xy=z^2+w^2+√3zw=3+2√2，y^2+z^2-yz=w^2+3x^2+√3wx=9+6√2，求 √3xz+yw。

思路（模糊处理）：把四个关系式局部配方得，

(x-√3y/2)^2+y^2/4=1→x-√3y/2=sinθ，y/2=cosθ.

(y-z/2)^2+3z^2/4=3→y-z/2=√3sinα，√3z/2=√3cosα.

(z+√3w/2)^2+w^2/4=1→z+√3w/2=sinβ，w/2=cosβ.

(w+x/2)^2+3x^2/4=3→w+x/2=√3sinγ，√3x/2=√3cosγ.

由此有，xz+yw=4cosαcosγ+4cosθcosβ=(sinθ+√3cosθ)(sinβ-√3cosβ)+4cosθcosβ=2cos(θ-β+π/3)

=2[cos(θ+π/3)cosβ+sin(θ+π/3)sinβ]=2[±cosβsinγ+sinβcosγ]=2sin(β±γ).

由2cosβ=√3sinγ-cosγ得，β+γ=2kπ+2π/3,β-γ=kπ+π/3(k∈Z)，即sin(β±γ)=±√3/2。故xz+yw=±√3。

注：原题答案为±√3（3+2√2）。

波斯猫猫

有的初等数学并不那么初等，思路或理念很重要。