a＞b 是正实数，a^2+ab+b^2=c^2-cd+d^2=1 ，ac+bd=2/√3 ，求 21(a^2+b^2+c^2+d^2)

wintex

luyuanhong

下面是我过去在《数学中国》发表过的一个帖子：

luyuanhong

下面是网友 fungarwai 过去在《数学中国》发表过的一个帖子：

wintex

luyuanhong 发表于 2023-10-9 20:14
下面是我过去在《数学中国》发表过的一个帖子：

請問陸老師，課本提示是用托勒密定理，怎麼用？

波斯猫猫

已知实数满足a^2+ab+b^2=c^2-cd+d^2=1 ，ac+bd=2/√3 ，求 a^2+b^2+c^2+d^2。
思考：不妨设c=a，不就有了b=-d？特殊化了。还是可以采用局部配方，用三角法处理为便。a^2+b^2+c^2+d^2=8/3。

luyuanhong

波斯猫猫

题：已知实数满足a^2+ab+b^2=c^2-cd+d^2=1 ，ac+bd=2/√3 ，求 a^2+b^2+c^2+d^2。

思路：令a=x+y，b=x-y，c=m+n，d=m-n。由条件有3x^2+y^2=m^2+3n^2=1，

且√3(mx+ny)=1，从而√3x=cosα ,y=sinα ,m=cosβ ,√3n=sinβ ，且α=2kπ+β(k∈Z)，或sinα=sinβ。

故a^2+b^2+c^2+d^2=2(x^2+y^2+m^2+n^2)=2[(cosα)^2/3+(sinα)^2+(cosβ)^2+(sinβ)^2/3]

=4/3+4/3[(sinα)^2+(cosβ)^2]=4/3+4/3[(sinβ)^2+(cosβ)^2]=8/3。

luyuanhong

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