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O,H是△ABC的外心和垂心,E=AB∩OH,F=AC∩OH,圆S=圆AEF,P=圆O......证明圆X与圆O相切。

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发表于 2023-10-16 21:19 | 显示全部楼层 |阅读模式
本帖最后由 天山草 于 2023-10-17 10:15 编辑

O、H 分别是 △ABC 的外心和垂心。E=AB ∩ OH，F=AC ∩ OH，圆S = 圆AEF，P = 圆O ∩ 圆S，
圆M = 圆OSP，D= 圆M ∩ OH，Q= 圆M ∩ 圆O，N=OH ∩ PQ，G=圆O ∩ QD，圆X= 圆HNG。
证明：圆X 与圆O 相切于 G。

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 楼主| 发表于 2023-10-16 21:21 | 显示全部楼层
本帖最后由 天山草 于 2023-10-17 10:10 编辑

程序代码：
  1. Clear["Global`*"]; (*令△ABC的外接圆为单位圆O，BC边平行于实轴，AB、AC的复斜率分别为 u^2、v^2 *)
  2. \!\(\*OverscriptBox[\(o\), \(_\)]\) = o = 0; a = I u v;   \!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) = 1/(I u v); b = (I u)/v;  
  3. \!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\) = v/(I u);  c = (I v)/u;  \!\(\*OverscriptBox[\(c\), \(_\)]\) = u/(I v);
  4. h = (I ((v^2 + 1) u^2 + v^2))/(u v); \!\(\*OverscriptBox[\(h\), \(_\)]\) = -((I (u^2 + v^2 + 1))/(u v));
  5. k[a_, b_] := (a - b)/(\!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\)); (*复斜率定义*)
  6. (*过A1点、复斜率等于k1的直线，与过A2点、复斜率等于k2的直线的交点：*)
  7. Jd[k1_, a1_, k2_, a2_] := -((k2 (a1 - k1 \!\(\*OverscriptBox[\(a1\), \(_\)]\)) - k1 (a2 - k2 \!\(\*OverscriptBox[\(a2\), \(_\)]\)))/(k1 - k2));\!\(\*OverscriptBox[\(Jd\), \(_\)]\)[k1_, a1_, k2_, a2_] := -((a1 - k1 \!\(\*OverscriptBox[\(a1\), \(_\)]\) - (a2 - k2 \!\(\*OverscriptBox[\(a2\), \(_\)]\)))/(k1 - k2));
  8. e = Simplify@Jd[k[a, b], a, k[o, h], o]; \!\(\*OverscriptBox[\(e\), \(_\)]\) = Simplify@\!\(\*OverscriptBox[\(Jd\), \(_\)]\)[k[a, b], a, k[o, h], o];
  9. f = Simplify@Jd[k[a, c], a, k[o, h], o]; \!\(\*OverscriptBox[\(f\), \(_\)]\) = Simplify@\!\(\*OverscriptBox[\(Jd\), \(_\)]\)[k[a, c], a, k[o, h], o];
  10. WX[a_, b_, c_] := (a \!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) (c - b) + b \!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\) (a - c) + c \!\(\*OverscriptBox[\(c\), \(_\)]\) (b - a) )/(\!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) (c - b) + \!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\) (a - c) + \!\(\*OverscriptBox[\(c\), \(_\)]\) (b - a));(*三角形 ABC 的外心坐标：*)   
  11. \!\(\*OverscriptBox[\(WX\), \(_\)]\)[a_, b_, c_] := (\!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) \!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\) (a - b) + \!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\) \!\(\*OverscriptBox[\(c\), \(_\)]\) (b - c) + \!\(\*OverscriptBox[\(c\), \(_\)]\) \!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) (c - a))/(\!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) (c - b) + \!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\) (a - c) + \!\(\*OverscriptBox[\(c\), \(_\)]\) (b - a));
  12. s = Simplify@WX[a, e, f]; \!\(\*OverscriptBox[\(s\), \(_\)]\) = Simplify@\!\(\*OverscriptBox[\(WX\), \(_\)]\)[a, e, f];
  13. W1 = {p,\!\(\*OverscriptBox[\(p\), \(_\)]\)} /. Simplify@Solve[{(o - p) (\!\(\*OverscriptBox[\(o\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(p\), \(_\)]\)) == 1, (s - p) (\!\(\*OverscriptBox[\(s\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(p\), \(_\)]\)) == (s - a) (\!\(\*OverscriptBox[\(s\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\)), p != a}, {p, \!\(\*OverscriptBox[\(p\), \(_\)]\)}] // Flatten;
  14. p = Part[W1, 1]; \!\(\*OverscriptBox[\(p\), \(_\)]\) = Part[W1, 2];
  15. m = Simplify@WX[o, s, p]; \!\(\*OverscriptBox[\(m\), \(_\)]\) = Simplify@\!\(\*OverscriptBox[\(WX\), \(_\)]\)[o, s, p];
  16. W2 = {q, \!\(\*OverscriptBox[\(q\), \(_\)]\)} /. Simplify@Solve[{(o - q) (\!\(\*OverscriptBox[\(o\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(q\), \(_\)]\)) == 1, (m - q) (\!\(\*OverscriptBox[\(m\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(q\), \(_\)]\)) == (m - o) (\!\(\*OverscriptBox[\(m\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(o\), \(_\)]\)), q != p}, {q, \!\(\*OverscriptBox[\(q\), \(_\)]\)}] // Flatten;
  17. q = Part[W2, 1]; \!\(\*OverscriptBox[\(q\), \(_\)]\) = Part[W2, 2];
  18. W3 = {d, \!\(\*OverscriptBox[\(d\), \(_\)]\)} /. Simplify@Solve[{k[o, h] == k[o, d], (m - d) (\!\(\*OverscriptBox[\(m\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(d\), \(_\)]\)) == (m - o) (\!\(\*OverscriptBox[\(m\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(o\), \(_\)]\))}, {d, \!\(\*OverscriptBox[\(d\), \(_\)]\)}] // Flatten;
  19. d = Part[W3, 1]; \!\(\*OverscriptBox[\(d\), \(_\)]\) = Part[W3, 2];
  20. W4 = {g, \!\(\*OverscriptBox[\(g\), \(_\)]\)} /. Simplify@Solve[{k[q, g] == k[q, d], (o - g) (\!\(\*OverscriptBox[\(o\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(g\), \(_\)]\)) == 1}, {g, \!\(\*OverscriptBox[\(g\), \(_\)]\)}] // Flatten;
  21. g = Part[W4, 1]; \!\(\*OverscriptBox[\(g\), \(_\)]\) = Part[W4, 2];
  22. n = Simplify@Jd[k[p, q], p, k[o, h], o]; \!\(\*OverscriptBox[\(n\), \(_\)]\) = Simplify@\!\(\*OverscriptBox[\(Jd\), \(_\)]\)[k[p, q], p, k[o, h], o];
  23. x = Simplify@WX[h, n, g]; \!\(\*OverscriptBox[\(x\), \(_\)]\) = Simplify@\!\(\*OverscriptBox[\(WX\), \(_\)]\)[h, n, g];
  24. Print["直线 OX 的复斜率 kOX = ", Simplify[k[o, x]]];
  25. Print["直线 OG 的复斜率 kOG = ", Simplify[k[o, g]]];
  26. Print["由于 kOX = kOG，所以 O、X、G 三点共线，故圆X 与圆O 相切于 G。 "];
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 楼主| 发表于 2023-10-17 10:26 | 显示全部楼层
本帖最后由 天山草 于 2023-10-17 10:33 编辑

这个题体现了采用复斜率概念的复平面解析几何的一个特点，就是环环相扣、依次求出各点的坐标。而求坐标过程往往是不需要思考的（有的情况除外），只需按步就班套公式就行了。因此程序虽然看起来很长，其实语句都是类似的，只须复制改写即可，并不需要太多动脑子。但是如果坐标表达式中出现根式，有可能会给后续解题进程带来麻烦。
对于上面这个题，需要求解的点的坐标虽然很多，好在全都没有根式出现，所以解题过程是很顺利的。
网友如果需要看看具体一个点的坐标表达是什么样的，可以自行在程序中添加打印语句。
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\frac{\square}{\square}\sqrt{\square}\square_{\baguet}^{\baguet}\overarc{\square}\ \dot{\baguet}\left(\square\right)\binom{\square}{\square}\begin{cases}\square\\\square\end{cases}\ \begin{bmatrix}\square&\square\\\square&\square\end{bmatrix}\to\Rightarrow\mapsto\alpha\ \theta\ \pi\times\div\pm\because\angle\ \infty
\frac{\square}{\square}\sqrt{\square}\sqrt[\baguet]{\square}\square_{\baguet}\square^{\baguet}\square_{\baguet}^{\baguet}\sum_{\baguet}^{\baguet}\prod_{\baguet}^{\baguet}\coprod_{\baguet}^{\baguet}\int_{\baguet}^{\baguet}\lim_{\baguet}\lim_{\baguet}^{\baguet}\bigcup_{\baguet}^{\baguet}\bigcap_{\baguet}^{\baguet}\bigwedge_{\baguet}^{\baguet}\bigvee_{\baguet}^{\baguet}
\underline{\square}\overline{\square}\overrightarrow{\square}\overleftarrow{\square}\overleftrightarrow{\square}\underrightarrow{\square}\underleftarrow{\square}\underleftrightarrow{\square}\dot{\baguet}\hat{\baguet}\vec{\baguet}\tilde{\baguet}
\left(\square\right)\left[\square\right]\left\{\square\right\}\left|\square\right|\left\langle\square\right\rangle\left\lVert\square\right\rVert\left\lfloor\square\right\rfloor\left\lceil\square\right\rceil\binom{\square}{\square}\boxed{\square}
\begin{cases}\square\\\square\end{cases}\begin{matrix}\square&\square\\\square&\square\end{matrix}\begin{pmatrix}\square&\square\\\square&\square\end{pmatrix}\begin{bmatrix}\square&\square\\\square&\square\end{bmatrix}\begin{Bmatrix}\square&\square\\\square&\square\end{Bmatrix}\begin{vmatrix}\square&\square\\\square&\square\end{vmatrix}\begin{Vmatrix}\square&\square\\\square&\square\end{Vmatrix}\begin{array}{l|l}\square&\square\\\hline\square&\square\end{array}
\to\gets\leftrightarrow\nearrow\searrow\downarrow\uparrow\updownarrow\swarrow\nwarrow\Leftarrow\Rightarrow\Leftrightarrow\rightharpoonup\rightharpoondown\impliedby\implies\Longleftrightarrow\leftharpoonup\leftharpoondown\longleftarrow\longrightarrow\longleftrightarrow\Uparrow\Downarrow\Updownarrow\hookleftarrow\hookrightarrow\mapsto
\alpha\beta\gamma\Gamma\delta\Delta\epsilon\varepsilon\zeta\eta\theta\Theta\iota\kappa\varkappa\lambda\Lambda\mu\nu\xi\Xi\pi\Pi\varpi\rho\varrho\sigma\Sigma\tau\upsilon\Upsilon\phi\Phi\varphi\chi\psi\Psi\omega\Omega\digamma\vartheta\varsigma\mathbb{C}\mathbb{H}\mathbb{N}\mathbb{P}\mathbb{Q}\mathbb{R}\mathbb{Z}\Re\Im\aleph\partial\nabla
\times\cdot\ast\div\pm\mp\circ\backslash\oplus\ominus\otimes\odot\bullet\varnothing\neq\equiv\not\equiv\sim\approx\simeq\cong\geq\leq\ll\gg\succ\prec\in\ni\cup\cap\subset\supset\not\subset\not\supset\notin\not\ni\subseteq\supseteq\nsubseteq\nsupseteq\sqsubset\sqsupset\sqsubseteq\sqsupseteq\sqcap\sqcup\wedge\vee\neg\forall\exists\nexists\uplus\bigsqcup\bigodot\bigotimes\bigoplus\biguplus\bigcap\bigcup\bigvee\bigwedge
\because\therefore\angle\parallel\perp\top\nparallel\measuredangle\sphericalangle\diamond\diamondsuit\doteq\propto\infty\bowtie\square\smile\frown\bigtriangledown\triangle\triangleleft\triangleright\bigcirc \wr\amalg\models\preceq\mid\nmid\vdash\dashv\nless\ngtr\ldots\cdots\vdots\ddots\surd\ell\flat\sharp\natural\wp\clubsuit\heartsuit\spadesuit\oint\lfloor\rfloor\lceil\rceil\lbrace\rbrace\lbrack\rbrack\vert\hbar\aleph\dagger\ddagger

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