资料【残数定理之一】能否具体演示 C0, C1 这两项在积分之后等于0

dodonaomikiki

\begin{align*}
针对以下具体积分\\
\int_{\Gamma}\frac{e^{iz}}{z^2+1}\\

之前，也看过一些复变函数题目，\\
算过一些残数题目，\\
却未曾想过这个问题\\
故而真诚请教\\
\end{align*}

dodonaomikiki

找到一个例子，
1962年，Murry   R.     Spiegei博士提到的一个例子！
Where    \( \Gamma      \)      is  any  simple  closed   
curve   enclosing  z=1

\begin{align*}
Evaluate:    \\
\oint  _{\Gamma}  \frac{ 5z^2 -3z+2   }{  (z-1)^3}dz\\
&=\oint    \frac{ 5(z-1)^2 +7(z-1)+4   }{  (z-1)^3}dz\\
&=5\oint \frac{  dz}{z-1}+7\oint \frac{  dz}{   （  z-1）^2}   +4\oint \frac{  dz}{（  z-1）^3}\\
&=5  \bullet   2\pi i+7  \bullet 0  +4    \bullet  0\\
&=10\pi  i\\
Rensselaer   \qquad      Polytechnic      \qquad         Institute\\
\end{align*}

dodonaomikiki

Rensselaer Polytechnic Institute
一所美国顶尖的理工大学
位于纽约奥尔巴尼附近的特洛伊，成立于1824年

dodonaomikiki

接下来，
值得思考的是：



\begin{align*}
为什么  \oint \frac{  dz}{   （  z-1）^2} &=0？\\
\oint \frac{  dz}{（  z-1）^3}&=0？\\
\end{align*}

dodonaomikiki

实际上这里，有一个定理！
当然也是可以证明的！



利用这个定理，
4楼的结论不证自明