ΔABC 中最小角 ∠BAC=45°，D 在 ΔABC 内，BD⊥CD，BD=CD，连接 AD，求证 AD=BD=CD

chenjiahao

在三角形 ABC 中，∠BAC =45度，\(\angle ABC{,}\angle ACB均大于45^{\circ}\),以 BC 为斜边，向三角形内作一等腰直角三角形， BD⊥CD , BD = CD ，连接 AD ，求证 AD = BD = CD。

使用纯几何方法，勿使用四点共圆

对此进行多种解法的征集。

时空伴随者

ccmmjj

以D为圆心，DB为半径作圆，则圆心角BDC=90度，故对应的圆周角为45度。反之在BC左侧对BC弧所张之角为45度的点必在此圆周上，即A是此圆上的点，故DA=DB=DC。

luyuanhong

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王守恩

\(记∠DAB=a,∠DBA=k*a,恒有:\)
\(1=\frac{\sin∠DAB*\sin∠DBC*\sin∠DCA}{\sin∠DBA*\sin∠DCB*\sin∠DAC}\)
\(=\frac{\sin(a)*\sin(45)*\sin(45-k*a)}{\sin(k*a)*\sin(45)*\sin(45-a)}\)
\(=\frac{\sin(a)*\sin(45-k*a)}{\sin(k*a)*\sin(45-a)}(瞪眼)\)
\(=\frac{\sin(a)*\sin(45-1*a)}{\sin(1*a)*\sin(45-a)}(k=1)\)

\(相似的题目。\)
\(三角形ABC,∠C=90,\ E,F分别为CA,CB上的点,\ 连接EF,AF,BE,\)
\(满足∠ABE=∠BAF=30,\ \ 则∠CEF=3∠CAF。\)

王守恩

\(相似的题目。\)
\(三角形ABC,∠C=90,\ E,F分别为CA,CB上的点,\ 连接EF,AF,BE,\)
\(满足∠ABE=∠BAF=30,\ \ 则∠CEF=3∠CAF。\)

波斯猫猫

题：ΔABC 中最小角 ∠BAC=45°，D 在 ΔABC 内，BD⊥CD，BD=CD，连接 AD，求证 AD=BD=CD。

思路：作ΔABC的外接圆O，令D是ΔABC内一动点，使BD⊥CD。因ΔABC 中最小角 ∠BAC=45°，

则圆O的圆心必在以BC为直径的半圆上。又ΔABC的外接圆O的圆心是唯一的，故仅当BD=CD时，

∠BDC(45°)为圆心角，即D为圆心。从而 AD=BD=CD。

波斯猫猫

题：ΔABC 中最小角 ∠BAC=45°，D 在 ΔABC 内，BD⊥CD，BD=CD，连接 AD，求证 AD=BD=CD。

luyuanhong

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波斯猫猫

用正弦定理则结论显然成立。