圆的三条弦 AB,CD,EF 交于一点 P，CF,DE 与 AB 交于 G,H，证明：1/AP-1/BP=1/GP-1/HP

luyuanhong

天山草

用复平面解析几何法证明坎迪定理：

程序图片：

运行结果：

程序代码：

1. Clear["Global`*"];(*令 ABCDEF 都在单位圆上且 AB 平行于实轴，用 \[Lambda] = AM/MB 和 \
   
2. A、B、D、F 点的坐标为变量 *)
   
3. \!\(\*OverscriptBox[\(o\), \(_\)]\) = o = 0; \!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) = 1/a; \!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\) = 1/b;
   
4. \!\(\*OverscriptBox[\(d\), \(_\)]\) = 1/d;  \!\(\*OverscriptBox[\(f\), \(_\)]\) = 1/f;
   
5. m = \[Lambda] b + (1 - \[Lambda]) a; \!\(\*OverscriptBox[\(m\), \(_\)]\) = \[Lambda] \!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\) + (1 - \[Lambda]) \!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\); (*\[Lambda]=AM/MB*)Print["M = ", m];
   
6. k[a_, b_] := (a - b)/(\!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\)); (*复斜率定义*)
   
7. (*FC是圆O上一条弦，M是弦上一点，则:*)
   
8. c = o + (\!\(\*OverscriptBox[\(o\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(f\), \(_\)]\)) k[f, m];
   
9. \!\(\*OverscriptBox[\(c\), \(_\)]\) = \!\(\*OverscriptBox[\(o\), \(_\)]\) + (o - f)/k[f, m]; Print["C = ",  Simplify[c]];
   
10. (*DE是圆O上一条弦，M是弦上一点，则:*)
    
11. e = o + (\!\(\*OverscriptBox[\(o\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(d\), \(_\)]\)) k[d, m]; \!\(\*OverscriptBox[\(e\), \(_\)]\) =
    
12. \!\(\*OverscriptBox[\(o\), \(_\)]\) + (o - d)/k[d, m]; Print["E = ",  Simplify[e]];
    
13. Jd[a_, b_, c_, d_] := (a b (c + d) - c d (a + b))/(a b - c d);
    
14. \!\(\*OverscriptBox[\(Jd\), \(_\)]\)[a_, b_, c_, d_] := ( a + b - c - d)/(a b - c d); (*单位圆上AB弦与CD弦的交点*)
    
15. p = Simplify@Jd[a, b, c, d]; \!\(\*OverscriptBox[\(p\), \(_\)]\) = Simplify@\!\(\*OverscriptBox[\(Jd\), \(_\)]\)[a, b, c, d];
    
16. q = Simplify@Jd[a, b, e, f]; \!\(\*OverscriptBox[\(q\), \(_\)]\) = Simplify@\!\(\*OverscriptBox[\(Jd\), \(_\)]\)[a, b, e, f];
    
17. Print["P = ", p]; Print["Q = ", q];
    
18. (* 设AB与实轴平行，则AM的长度等于M的实部减去A的实部，BM、PM、QM的长度表达式类似 *)
    
19. AM = Simplify[(m + \!\(\*OverscriptBox[\(m\), \(_\)]\))/2 - (a + \!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\))/2]; BM = Simplify[(b + \!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\))/2 - (m + \!\(\*OverscriptBox[\(m\), \(_\)]\))/2];
    
20. PM = Simplify[(m + \!\(\*OverscriptBox[\(m\), \(_\)]\))/2 - (p + \!\(\*OverscriptBox[\(p\), \(_\)]\))/2]; QM = Simplify[(q + \!\(\*OverscriptBox[\(q\), \(_\)]\))/2 - (m + \!\(\*OverscriptBox[\(m\), \(_\)]\))/2];
    
21. Print["AM = ", AM]; Print["BM = ", BM];
    
22. Print["PM = ", PM]; Print["QM = ", QM];
    
23. Print["\!\(\*FractionBox[\(1\), \(AM\)]\)-\!\(\*FractionBox[\(1\), \(BM\)]\) = \!\(\*FractionBox[\(1\), \
    
24. \(PM\)]\)-\!\(\*FractionBox[\(1\), \(QM\)]\) 成立否？",
    
25.   Simplify[1/AM - 1/BM == 1/PM - 1/QM]];

复制代码

当 λ=1/2 时：

PM = QM， 就转化为蝴蝶定理。

wilsony

想请教陆老师两个概念问题：

luyuanhong

1.  我写 SΔGCP = GC×CP×sin∠GCP／2 ，意思是前面部分的式子

GC×CP×sin∠GCP 一起除以 2 ，并不是单单只有 ∠GCP 除以 2 。

2.  这里用到一个圆内“相交弦定理”：

    若圆的两条弦 AB,CD 交于圆内的一点 P ，则必有 AP×BP = CP×DP 。

    这个定理证明也很容易：

    因为 ΔAPC～ΔDPB ，所以 AP/CP = DP/BP ，所以 AP×BP = CP×DP 。

wilsony

多谢陆老师！