【资料】爱沙尼亚高中数学竞赛，\( \sqrt{119}a+\sqrt{17} b \preceq 2ab\)

dodonaomikiki

赋予具体的阿拉伯数字，
看起来，题目很不错！

uk702

如图，瞪眼，无解。

uk702

已知 a^2 + b^2 = r^2，当 a, b, r > 0 时，求 sqrt(119) / a + sqrt(17) / b 的最小值。

解：由 Holder 不等式，有 (sqrt(119) / a + sqrt(17) / b)(sqrt(119) / a + sqrt(17) / b)(a^2 + b^2) ≧ ((sqrt(119)/a * sqrt(119)/a * a^2)^(1/3) + (sqrt(17)/b * aqrt(17) / b * b^2)^(1/3))^3 = (119^(1/3) + 17^(1/3))^3 = 420.18408...

令 u = sqrt(119) / a + sqrt(17) / b，则 u^2 * r^2 ≧ 420.18408...
∴ u^2 ≧ 420.18408/r^2，当 r^2 ≤ 2 sqrt(2023)时，算得 u^2 ≧ 4.671，即 u > 2.16125...

∴原题有 sqrt(119) a + sqrt(17) b >= 2.16 ab

dodonaomikiki

\begin{align*}
Holder 不等式\\
\Longrightarrow   & (   \frac{ \sqrt{119}}{a}  + \frac{ \sqrt{17}}{b}  )(  \frac{ \sqrt{119}}{a}  + \frac{ \sqrt{17}}{b} )(a^2 + b^2)   \\
  &\succeq     [   \qquad      \sqrt  [3]{\frac{ \sqrt{119}}{a}  \bullet   \frac{ \sqrt{119}}{a}  \bullet   a^2}  + \sqrt  [3]{ \frac{ \sqrt{17}}{b}   \bullet   \frac{ \sqrt{17}}{b}  \bullet    b^2}    \qquad   ]^3 \\
&= (119^{ \frac{1}{3}   } + 17^{ \frac{1}{3}   })^3 \\
&= 420.18408...\\


\end{align*}

dodonaomikiki

4楼已经看不懂啦！
我要好好研究一哈！

dodonaomikiki

资料备存

dodonaomikiki

HOLDER不等式也不大了解！
也需要研究！

dodonaomikiki

赫尔登不等式，资料释放！
有兴趣的同志，可以研读！

dodonaomikiki

从审美角度看，
跟二楼UK老师所提供的照片，颇为相似！


一本文字瘦削，意涵丰富的小说的封面
红日破缺图

波斯猫猫

题：是否存在正实数a和b满足√119a+√17b≤2ab，且a^2+b^2≤2√2023。

思路：由条件有(2a-√17)(2b-√119)≥√2023≥(a^2+b^2)/2，其中2a＞√17，2b＞√119。

令2a-√17=x，2b-√119=y，则xy≥√2023≥[(x+√17)^2+(y+√119)^2]/8。

考虑双曲线xy=√2023在第一象限上任意一点(x=√119t，y=√17/t)与圆

(x+√17)^2+(y+√119)^2=8√2023的圆心的距离d(必有最小值)，有

d^2=(√119t+√17)^2+(√17/t+√119)^2，令其导数为零，解得(t＞0)

唯一正实数解t=7^(-1/6)。代之有d^2min=17[49^(1/6)+1]^3，

经检验有17[49^(1/6)+1]^3＞8√2023。即双曲线xy=√2023在第一象限

的部分与圆相离，亦即不存在正实数满足xy≥√2023≥[(x+√17)^2+(y+√119)^2]/8。

从而，不存在正实数a和b满足√119a+√17b≤2ab，且a^2+b^2≤2√2023。