倍数 倍数含量

yangchuanju

倍数
一个整数能够被另一个整数整除，这个整数就是另一整数的倍数。一个数的倍数有无数个，也就是说一个数的倍数的集合为无限集。需要注意的是，不能把一个数单独叫做倍数，只能说一个数是另一个数的倍数。

特征
注意:以下特征是就整数的十进制表示法而言。
(1)2的倍数
一个数的末尾是偶数(0，2，4，6，8)，这个数就是2的倍数。
如3776。3776的末尾为6，是2的倍数。3776÷2=1888
(2)3的倍数
一个数的各位数之和是3的倍数，这个数就是3的倍数。
如4926。(4+9+2+6)÷3=7，是3的倍数。4926÷3=1642
(3)4的倍数
一个数的末两位是4的倍数，这个数就是4的倍数。
如2356。56÷4=14，是4的倍数。2356÷4=589
(4)5的倍数
一个数的末尾是0或5，这个数就是5的倍数。
如7775。7775的末尾为5。7775÷5=1555
(5)6的倍数
一个数只要能同时被2和3整除，那么这个数就能被6整除。
(6)7的倍数
若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。例如，判断133是否7的倍数的过程如下:13-3×2=7，所以133是7的倍数;又例如判断6139是否7的倍数的过程如下:613-9×2=595 ， 59-5×2=49，所以6139是7的倍数，余类推。
(7)8的倍数
一个数的末三位是8的倍数，这个数就是8的倍数。
如7256。256÷8=32，是8的倍数。7256÷8=907
(8)9的倍数
若一个整数的数字和能被9整除，则这个整数能被9整除。
(9)10的倍数
若一个整数的末位是0，则这个数能被10整除。
(10)11的倍数
若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除，则这个数能被11整除。如264、3080和95949392，2+4-6=11×0，3+8-0-0=11×1，9×4-(5+4+3+2)=11×2，264、308和95949392都能被11整除。
11的倍数检验法也可用上述检查7的「割尾法」处理。过程唯一不同的是:倍数不是2而是1。
将一个数从个位开始两两分隔，若所有分隔开的数和为11的倍数，则这个数为11的倍数(如32571，分隔成3 25 71，3+25+71=99，99为11倍数，所以32571是11的倍数)。
(11)12的倍数
若一个整数能被3和4整除，则这个数能被12整除。
(12)13的倍数
若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果和是13的倍数，则原数能被13整除。如果差太大或心算不易看出是否13的倍数，就需要上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程，直到能清楚判断为止。
(13)17的倍数
若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的5倍，如果差是17的倍数，则原数能被17整除。如果差太大或心算不易看出是否17的倍数。
(14)19的倍数
若一个整数的末三位与7倍的前面的隔出数的差能被19整除，则这个数能被19整除。
若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的2倍，如果和是19的倍数，则原数能被19整除。如果差太大或心算不易看出是否19的倍数。
(15)23的倍数
若一个整数的末四位与前面5倍的隔出数的差能被23(或29)整除，则这个数能被23整除。
(16)25的倍数
两位数以上(不包含两位数)，看末两位是否是25的倍数。
(17)125的倍数
三位数以上(不包含三位数)，看后三位是否是125的倍数。
(18)合数的倍数
其实就是质数的乘积，只要掌握了一些质数的倍数，一些合数的倍数也会掌握了。如上文提到的4、6、8、12。

yangchuanju

上楼内容摘自360百科《倍数》，文中的13、17、19的倍数验证法说的不是太明确，待以后补充。

yangchuanju

某正整数以内素数个数
最小的素数是2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31，……
30以内有10个素数，210以内有46个素数，……

30以内有10个整数是3的倍数：3,6,9,12,15,18,21,24,27,30；
30以内有6个整数是5的倍数：5,10,15,20,25,30；……

210以内有70个整数是3的倍数：3,6,9,12,15,18,21,24,27,30；33,……,210；
210以内有42个整数是5的倍数：5,10,15,20,25,30；35,……,210；
210以内有30个整数是7的倍数：7,14,21,28,35,……,210；
……

在求正整数30以内素数个数时，可以按照埃氏筛法首先用2除1-30中的30个正整数，筛除掉其中的2的倍数，但要保留下2来，剩余16个正整数；
接着再用3除去剩余16个正整数中的3的倍数，但要保留下3来，又筛掉9,15,21,27四数，剩余12个正整数；
继续再用5除去剩余12个正整数中的5的倍数，但要保留下5来，又筛掉25一数，剩余11个正整数：
1,2,3,5,7,11,13,17,19,23,29；
按照数论的新规定：1即不是素数，也不是合数，故要在上述的11个正整数中去掉1，下剩的10个正整数才是素数。

对于较大的正整数N，可用连乘积计算N中的素数个数——N*1/2*(1-1/3)*(1-1/5)*(1-1/7)*…*(1-1/p)-1+r
=N/2*2/3*4/5*6/7*…*(p-1)/p-1+r，
式中P是N平方根内的最大素数，r是N平方根内的素数个数。

yangchuanju

倍数个数与倍数含量
鲁思顺在其《倍数含量与恒等式的妙用》论文及后续的博贴中多次使用和强调“倍数个数”和“倍数含量”这两个数学名词，
整数30以内3的倍数有10个，倍数含量是3分之一；60以内3的倍数有20个，倍数含量也是3分之一——正确，不争！
整数32以内3的倍数个数也是10个，62以内的3的倍数个数也是20个，倍数含量都稍稍低于3分之一，但约等于3分之一。
整数30以内5的倍数有6个，倍数含量是5分之一；60以内5的倍数有12个，倍数含量也是5分之一——正确，不争！
整数32以内5的倍数个数也是6个，62以内的5的倍数个数也是12个，倍数含量都稍稍低于5分之一，但约等于5分之一。
整数30以内15的倍数有2个，倍数含量是15分之一；60以内15的倍数有4个，倍数含量也是15分之一——正确，不争！
整数32以内15的倍数个数还是2个，62以内的15的倍数个数也还是4个，倍数含量都稍稍低于15分之一，但约等于15分之一。

对于是素数2,3,5公倍数的正整数N，其中2的倍数个数、3的倍数个数、5个倍数个数以及6,10,15的倍数个数都是整数，相应的倍数含量都是某某分之一；
但对于不是素数2,3,5公倍数的正整数N，如32,34,38等，其中2的倍数个数、3的倍数个数、5个倍数个数以及6,10,15的倍数个数都还是整数，但倍数含量都不再是严格的某某分之一了。

在求某正整数N以内的素数个数时，可使用以倍数含量为基础的连乘积计算式计算，尽管有一定误差存在；
误差1——整数1始终被保留在筛余数中，如果不认为1是素数，则计算素数个数时应从连乘积计算式值中减去1；
误差2——小素数2,3,5，……p在筛分过程中均被筛除，应补加上，这里的p是正整数N平方根内的最大素数，N平方根内有几个素数就要加上几，加数是确定的；
误差3——近似计算的误差，对于求素数个数来说，误差较小。
总之，对于求算素数个数连乘积计算式和倍数含量、倍数个数都是可用的！

lusishun

yangchuanju 发表于 2023-12-5 04:50
倍数个数与倍数含量
鲁思顺在其《倍数含量与恒等式的妙用》论文中多次强调倍数个数和表示含量，
整数30以 ...

开始，我有给出的倍数含量的概念，我“多次强调”，了吗？我查一查，
要注意，别出现误解。

lusishun

倍数含量的概念，是有严格的，准确的内含与外延的。

yangchuanju

用倍数含量理论可以得到素数的精确公式
下面是王元给出的简化的容斥公式（即倍数含量公式）：
π(N)＝（r-1) +{N-∑[N/pi]+∑[N/pipj]-∑[N/pipjpk]+…+(-1)^r*∑[N/p1p2…pr]}
(第一个∑：1≤i≤r。第二个∑：1≤i＜j≤r。第三个∑：1≤i＜j＜k≤r。)
转引自童信平《“1+1”浅见之十：哈代－李特伍德猜想(A)未揭示的6个细节》9楼贴。

N=100，100平方根等于10，10以内素数共有4个：2,3,5,7；
r=4
∑[N/pi]=[100/2]+[100/3]+[100/5]+[100/7]=50+33+20+14=117
∑[N/pipj]=[100/(2*3)]+[100/(2*5)]+[100/(2*7)]+[100/(3*5)]+[100/(3*7)]+[100/(5*7)]=[100/6]+[100/10]+[100/14]+[100/15]+[100/21]+[100/35]=16+10+7+6+4+2=45
∑[N/pipjpk]=[100/(2*3*5)]+[100/(2*3*7)]+[100/(2*5*7)]+[100/(3*5*7)]=[100/30]+[100/42]+[100/70]+[100/105]=3+2+1+0=6
∑[N/p1p2…pr]=[100/(2*3*5*7)]=[100/210]=0
π(N)＝( r-1) +{N-∑[N/pi]+∑[N/pipj]-∑[N/pipjpk]+…+(-1)^r*∑[N/p1p2…pr]}
=(4-1)+100-117+45-6+0=25

yangchuanju

在求素数个数时，
π(N)＝(r-1) +{N-∑[N/pi]+∑[N/pipj]-∑[N/pipjpk]+…+(-1)^r*∑[N/p1p2…pr]}
当N=30时，π(30)＝(3-1) +{30-(30/2+30/3+30/5)+(30/6+30/10+30/15)-30/30}=2+30-31+10-1=10
当N=10时，仅用两个素数筛分即可，有π(10)＝(2-1) +{10-(10/2+[10/3])+[10/6]}=1+10-5-3+1=4，式中[]表示向下取整。
对于仅用两个素数p1和p2进行筛分时（不一定筛到底），筛余数个数
N筛余=N-[N/p1]-[N/p2]+[N/(p1*p2)]，式中[]表示向下取整。

然而在计算某偶数N的哥德巴赫猜想素数对时，其倍数含量就不好用了！
没有类似于素数精确公式的精确素数对公式——
N筛余=N/2-[N/2*(p1-2)/p1]-[N/2*(p2-2)/p2[+[N/2*(p1-2)/p1*(p2-2)/p2]，对2素数联筛而言。

yangchuanju

用素数2和3对偶数N进行双筛，筛余奇数对有两套数字：实际筛余奇数对、连乘积计算奇数对，分别称之为3筛余、3积余；
3筛误差（3误差）=3积余-3筛余；
当偶数N是3的倍数时，3积余=N/2*2/3；当偶数N不是3的倍数时，3积余=N/2*1/3。
当偶数N模6余2时，3筛余=int(N/2*1/3)+1；当偶数N模6余4时，3筛余=int(N/2*1/3)；当偶数N模6余0时，3筛余=int(N/2*2/3)。
当偶数N模6余2时，3误差=3积余-3筛余=N/2*1/3-(int(N/2*1/3)+1)；当偶数N模6余4时，3误差=3积余-3筛余=N/2*1/3-int(N/2*1/3)；
当偶数N模6余0时，3误差=3积余-3筛余=N/2*2/3-int(N/2*2/3)。

用素数2和5对偶数N进行双筛，筛余奇数对有两套数字：实际筛余奇数对、连乘积计算奇数对，分别称之为5筛余、5积余；
5筛误差（5误差）=5积余-5筛余；
当偶数N是5的倍数时，5积余=N/2*4/5；当偶数N不是5的倍数时，5积余=N/2*3/5。
当偶数N模10余2和4时，5筛余=int(N/2*3/5)+1；当偶数N模10余6和8时，5筛余=int(N/2*3/5)；当偶数N模10余0时，5筛余=int(N/2*4/5)。
当偶数N模10余2和4时，5误差=5积余-5筛余=N/2*3/5-(int(N/2*3/5)+1)；当偶数N模10余6和8时，5误差=5积余-5筛余=N/2*3/5-int(N/2*3/5)；
当偶数N模10余0时，5误差=5积余-5筛余=N/2*4/5-int(N/2*4/5)。

用素数2，3和5对偶数N进行双筛，筛余奇数对有两套数字：实际筛余奇数对、连乘积计算奇数对，分别称之为15筛余、15积余；
15筛误差（15误差）=15积余-15筛余；
当偶数N是15的倍数时，15积余=N/2*2/3*4/5=4/15*N=8/30*N；
当偶数N是3的倍数但不是5的倍数时，15积余=N/2*2/3*3/5=3/15*N=6/30*N；
当偶数N不是3的倍数但是5的倍数时，15积余=N/2*1/3*4/5=2/15*N=4/30*N；
当偶数N不是3和5的倍数时，15积余=N/2*1/3*3/5=1/10*N=3/30*N。

（1）N=30；（2）N=6,12,18,24；（3）N=10,20；（4）N=2,4,8,14,16,22,26,28；
表明看，15积余虽然只有4种类型，实际上是1+4+2+8=15种类型。
由于N筛余不等于N/2-[N/2*(p1-2)/p1]-[N/2*(p2-2)/p2]+[N/2*(p1-2)/p1*(p2-2)/p2]，对2素数联筛而言；
故而15筛余不等于N/2-3筛除-5筛除+15筛除。

yangchuanju

3筛除——模6余0的[N/2*1/3]；模6余2的[N/2*2/3]；模6余4的[N/2*2/3]+1；
偶数        筛除        筛余        积余        误差
2        0        1        0.333333333        -0.666666667
4        2        0        0.666666667        0.666666667
6        1        2        2        0
8        2        2        1.333333333        -0.666666667
10        4        1        1.666666667        0.666666667
12        2        4        4        0
14        4        3        2.333333333        -0.666666667
16        6        2        2.666666667        0.666666667
18        3        6        6        0
20        6        4        3.333333333        -0.666666667
22        8        3        3.666666667        0.666666667
24        4        8        8        0
26        8        5        4.333333333        -0.666666667
28        10        4        4.666666667        0.666666667
30        5        10        10        0
                               
5筛除——模10余0的[N/2*1/5]；模10余2和4的[N/2*2/5]；模10余6和8的[N/2*2/5]+1；
偶数        筛除        筛余        积余        误差
2        0        1        0.6        -0.4
4        0        2        1.2        -0.8
6        2        1        1.8        0.8
8        2        2        2.4        0.4
10        1        4        4        0
12        2        4        3.6        -0.4
14        2        5        4.2        -0.8
16        4        4        4.8        0.8
18        4        5        5.4        0.4
20        2        8        8        0
22        4        7        6.6        -0.4
24        4        8        7.2        -0.8
26        6        7        7.8        0.8
28        6        8        8.4        0.4
30        3        12        12        0