从 1,2,…,7,8,8,9 中取四个数组成四位数，其中或大于 6400 或有两个 8 的数有几种？

wintex

請問數學

lihp2020

该问题 问多少种 不符合 实际情况
(ps: 因为题中讲了一个比较生动的例子  那么 明显抽出 “1288” 和“9752”的概率是不一样的 但是 算个数他们都算1个 )
当然 按照题目 从 1,2,…,7,8,8,9 中取四个数组成四位数，其中或大于 6400 或有两个 8 的数有几种？  还是可以理解

两个8 的有C(8,2)*4*3 种

2 大于6400的有(不能在抽两个 8了 只数个数 不看概率 就假设只有一个8 在抽奖箱 结果一样的 但效果不一样)
1： 6（4~9）** =1*6*7*6
2 ：（7~9）***  =3*8*7*6

所以结果=8*7/2*4*3+6*7*6+3*8*7*6 =1596

天山草

此题可这样稍加改写：
从分别写有 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 8, 9 的十张卡片中每次抽取一张不放回，共抽 4 次，四张卡片依次从左到右排列在桌面上形成四位数字。如果这个四位数大于6400，或者虽然小于 6400 但是其中有两个 8，都可获奖。问获奖的概率有多大？


经计算，共有 3360 种不同的四位数，符合获奖要求的有 1554 个数，因此获奖概率为 1554/3360 = 37/80。
在这 1554 个符合获奖要求的数中，小于 6400 但有两个 8 的有 108个数，大于6400 的有 1554 - 108 = 1446 个数。

1. Clear["Global`*"];(*此题程序如下*)
   
2. a = Permutations[{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 8, 9}, {4}];(*从10个元素中每次取出4个进行排列*)
   
3. Print["共有 ", Length[a], " 个不同的四位数。其中符合获奖要求的有下面这些数："];
   
4. k = 0;
   
5. Do[b = ToExpression[StringJoin @@ ToString /@ a[[i]]];(*将第i个排列转换成数字*)
   
6. If[b >= 6400 || (b < 6400 && Length[Union[a[[i]]]] == 3), k++;
   
7.   If[k == 6 || k == 112, Print["\[CenterEllipsis]\[CenterEllipsis]\[CenterEllipsis]\[CenterEllipsis]\[CenterEllipsis]\[CenterEllipsis]\[CenterEllipsis]"], If[113 >= k >= 108 || k < 6 || k > 1554 - 4, Print[k, "-----", b]]]], {i, 1, Length[a]}]
   
8. Print["共有 ", k, " 个数字符合获奖要求，其中小于6400但有两个8的有108个数，大于6400的有1554-108=1446个数。"];

复制代码

Treenewbee

1. a=Permutations[Join[Range@9,{8}],{4}];b=Select[a,FromDigits@#>6400||SequenceCount[#,{8}]>1&];{Length@b,Length@a}

复制代码

{1554,3360}

Treenewbee

Treenewbee 发表于 2023-12-8 04:03
{1554,3360}

代码运行结果就是{1554,3360}啊

天山草

Treenewbee 发表于 2023-12-8 15:30
代码运行结果就是{1554,3360}啊

Treenewbee

蓝色应该是没有识别

王守恩

从 1,2,…,7,8,8,9 中取四个数组成四位数, 大于 6400 或有两个 8 的数有1554个。
两个8 改两个1,2,3,4,5,6,7,9 答案都是1554。

1. a = Permutations[Join[Range@9, {8}], {4}]; b = Select[a, FromDigits
   
2. @# > 6400 || SequenceCount[#, {8}] > 1 &]; {Length@b, Length@a}

复制代码

{1554, 3360}

1554=5*14+38*1+12*56+18*43
5=18,28,38,48,58,(千位百位)
38=12,13,14,15,...61,62,63,
12=68,78,81,82,83,84,85,86,87,88,89,98,
18=64,65,67,69,71,...95,96,97,
1554-5*(14-56)-38*(1-43)=3360
(5+12)*56+(38+18)*43=3360

王守恩

好题！！意犹未尽！关键在3360。
从 1,2,…,7,8,8,9 中取1个数组成1位数, 这样的1位数有9个。
从 1,2,…,7,8,8,9 中取2个数组成2位数, 这样的2位数有73个。
从 1,2,…,7,8,8,9 中取3个数组成3位数, 这样的3位数有528个。
从 1,2,…,7,8,8,9 中取4个数组成4位数, 这样的4位数有3360个。
从 1,2,…,7,8,8,9 中取5个数组成5位数, 这样的5位数有18480个。
从 1,2,…,7,8,8,9 中取6个数组成6位数, 这样的6位数有85680个。
从 1,2,…,7,8,8,9 中取7个数组成7位数, 这样的7位数有322560个。
从 1,2,…,7,8,8,9 中取8个数组成8位数, 这样的8位数有927360个。
从 1,2,…,7,8,8,9 中取9个数组成9位数, 这样的9位数有1814400个。

17*1+56*1=73
17*8+56*7(1*8-1)=528
17*8*7+56*43(7*7-6)=3360
17*8*7*6+56*228(43*6-30)=18480
17*8*7*6*5+56*1020(228*5-120)=85680
17*8*7*6*5*4+56*3720(1020*4-360)=322560
17*8*7*6*5*4*3+56*10440(3720*3-720)=927360
17*8*7*6*5*4*3*2+56*20160(10440*2-720)=1814400
17*8*7*6*5*4*3*2*1+56*20160(20160*1-0)=1814400

luyuanhong

问题一  从 1,2,…,7,8,8,9 中取四个数组成四位数，其中或者大于 6400 或者有两个 8 的四位数

共有几种？

解（一）先计算有两个 8 的四位数有几种：

    两个 8 在四位数中的位置共有 C(4,2)=6 种不同的取法，然后在剩下 8 个数中选 2 个数

放在其余的两个位置上，有 8×7 种做法。所以，有两个 8 的四位数共有 6×8×7 = 336 种。

（二）再计算大于 6400 且最多只有一个 8 的四位数有几种：

    因为最多只有一个 8 ，所以可认为是在 1,2,…,7,8,9 这 9 个数中取四个数组成四位数。

    这样的四位数在千位上只能是 6,7,8,9 ，有 4 种选择。千位取定后，在剩下的 8 个数中选

3 个数放在后面的三位上，有 8×7×6 种做法。所以这样的数共有 4×8×7×6 = 1344 种。

    但是，上面的算法，把大于 6000 、小于 6400 的数也算进去了，所以还要扣除这样的数。

大于 6000 、小于 6400 的四位数的前两位只能是 61,62,63 ，有 3 种选择。前两位取定后，在

剩下的 7 个数中选两个数放在后两位上，有 7×6 种做法。可见这样的数有 3×7×6 = 126 种。

   扣除小于 6400 的数后，大于 6400 且最多只有一个 8 的四位数有 1344 - 126 = 1218 种。

   综合以上分析，可知本题要求的或大于 6400 或有两个 8 的四位数有 336 + 1218 = 1554 种。

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问题二  从写有数字 1,2,…,7,8,8,9 的 10 张卡片中，随机取出四张卡片，卡片上的四个数字按

取出循序组成一个四位数。如果四位数大于 6400 或四位数中有两个 8 则可以得奖，求中奖概率。

解  写有 8 的卡片有两张，不妨认为一张写的是 8 ，另一张写的是 8' ，可看作是两个不同的数。

    从 1,2,…,7,8,8',9 这十个数中取四个数排列成一个四位数，有 10×9×8×7 = 5040 种做法。

（一）计算小于 6400 且其中同时有 8 与 8' 的四位数有几种：

    小于 6000 的四位数在千位上只能是 1,2,3,4,5 ，有 5 种选择。再在后三位中选两个位置放

8 和 8' ，有 3×2 种做法。再在剩下的 7 个数中选一个放在剩下的一个位置上，有 7 种选择。

所以小于 6000 且其中同时有 8 与 8' 的四位数有 5×3×2×7 = 210 种。

    大于 6000 、小于 6400 的四位数的前两位只能是 61,62,63 ，有 3 种选择。后两位只能是

88' 或 8'8 ，有 2 种选择。所以大于 6000 小于 6400 且同时有 8,8' 的四位数有 3×2 = 6 种。

    把上面两类加起来，小于 6400 且其中同时有 8 与 8' 的四位数共有 210 + 6 = 216 种。

（二）再计算大于 6400 的四位数有几种：

    这样的四位数在千位上只能是 6,7,8,8',9 ，有 5 种选择。千位取定后，在剩下的 9 个数中

选 3 个数放在后面的三位上，有 9×8×7 种做法。所以这样的数共有 5×9×8×7 = 2520 种。

    但是，上面的算法，把大于 6000 、小于 6400 的数也算进去了，所以还要扣除这样的数。

大于 6000 、小于 6400 的四位数的前两位只能是 61,62,63 ，有 3 种选择。前两位取定后，在

剩下的 8 个数中选两个数放在后两位上，有 8×7 种做法。可见这样的数有 3×8×7 = 168 种。

   扣除小于 6400 的数后，大于 6400 的四位数有 2520 - 168 = 2352 种。

   综合以上分析，可知或者大于 6400 或者其中同时有 8,8' 的四位数有 216 + 2352 = 2568 种。

   本题要求的中奖概率为 2568／5040 = 107／210 。