咨询：计算机软件如何处理计算误差？人又是如何评估计算机是否算对？

cgl_74

咨询：计算机软件如何处理计算误差？人又是如何评估计算机是否算对？

这段时间，论坛上有几个题目，我用计算机辅助验证，都出现了计算精度问题，导致给出的建议是有问题的。不同的计算软件，给的算法不一样，会导致一些区别。我用的通用软件python，处理计算就很弱，数字大一点误差就不可控。可能一些专业些的软件会好一些，比如mathematic，好多网友都在用。

但是，从理论上说，计算机计算都会出现误差，无论采用哪种算法。无理数是无限不循环数，用浮点数替代就会有误差。而且经过一个函数表达式迭代，一般来说误差还会扩散，或变得更不好控制。在处理极大或极小值时，误差肯定是会出现的。数学中的极限，无穷大无穷小，在计算机软件中如何处理？或者对精度很高的计算时，如何经过一系列函数迭代，误差如何控制？

我看有很多网友喜欢用计算机软件进行证明（注意不是计算机辅助，而是机器完成最主要的证明）。这种证明在理论上是否有很严格的依据？证明肯定靠谱吗？或者直接说，大家是否计算机软件出现过结论不正确的时候？至少我已经见过网友用计算机软件做，得出过明显是错误的结果。更别说用ChatGPT这种更泛化的工具。

计算机工具很有用，一般人主导逻辑推理，计算机主导计算。得出结论的正确性的评估，人一般还能把握住。

Nicolas2050

去看看张景中，吴文俊院士的工作。

uk702

Mathematica （其它大多软件也一样），将计算分成两类，一类将输入当成符号，进行符号计算，比如将 \( \sqrt{2} \) 当成一个数学符号进行运算（这时计算速度将明显变慢），计算结果也是一种符号，只有是否最简化，不存在误差之说。

另一种是将输入当成浮点数，当输入的数包含小数点，MMA 就将之视作浮点数，比如  \( \sqrt{2.0} \) ，进行数值运算，数值运算必然包含误差，这就导致 3*(1.0/3) != 1.0 之类的问题。

如何估计误差累积是个重大理论问题，和误差的（分布）“模型”有关，数值计算的书一般会有一个章节，比如将误差视作正态分布，再评估误差累积。

日常中可能要 "拍脑袋" 。日常编程中，如果经过拍脑袋，认为误差累积不会超过 10^-20 时，通常可使用令 c = 10^-20  而 -c < x - y < c 时，就认为 x=y 而 x - y > c 时就认为 x > y。

浮点的世界，也就是生活的真正状态，其实是一个置信区间的世界。

天山草

mathematica 经常用于符号计算，这时不存在计算误差问题。
mathematica 用于数值计算时，如果需要，也可以计算到任意精度。这种例子很多。例如：



超越方程也有办法算到任意精度。

uk702

经典书《计算机程序设计艺术 第2卷 半数值算法》，专门讲数值运算，那位看懂的给大家嘚瑟下。

cgl_74

感谢楼上各位的答复。

这几天我自己想了下：
一、先看计算精度
理论上说，只要给定了函数f，那么x的一个精度误差，经过f(x)的传递，总可以经过系列计算，控制在指定精度内。如果f比较复杂，或f可以多次迭代，这种精度控制就更复杂一些。但无论如何，理论上都是可以通过有限次计算来做到精度控制的。

关键点1: 计算机自己要内嵌很多函数的精度控制模型。专业的计算机软件就考虑得很多，比如一般多项式的计算都是很成熟的。而且都是经过长时间验证的。

关键点2:总存在一个复杂函数的精度处理，超出了当前计算机的内嵌模型。那么，这个计算软件是否能知道这个事情是它做不了的？它是如实回答我不会，还是仍然一本正经的给出一个答案？
如果是人，一个训练有素的数学家，他肯定能知道哪些结论是确定的，哪些结论是他既不能证实，也不能证伪的。而且有同行评审，可以分析过程是否有问题。但计算机出了问题，人很难去评审它的过程；最多是多种计算软件计算下，比较下结果。即使结果不一样，你也很难知道哪个是对的！

二、对于符号计算：
计算机程序是内嵌了很多公式，可以进行符号分析和逻辑替代。这种处理反而不容易出错！因为不容易出现错误的点，顶多是化简不够，或者做不出来，跟目标形式相差比较大。当然这是针对很严谨的计算机软件而言的。像ChatGPT这种，会出现一本正经的胡说八道的情况，因为它的逻辑根本不是推导性的，而是经验性的，哪个说的多就信谁。

无论如何，计算机辅助在实际应用中都是非常有用的。因为大多数情况下并不关心结果是怎么来的，而是先至少有一个结果，再是结果对不对。结果是否对就是按照指定工具指定步骤操作得出，在实践中应用去验证。