互素数对个数

yangchuanju · 发表于 2023-12-26 13:42

互素数对个数
用两个与2互素的正互素数（正奇数）相加可以合成全部正偶数，
对于正偶数2n共有n种合成法，2n=1+(2n-1)=3+(2n-3)+…+(2n-3)+(2n-1)+1；这里的n=1,2,3……（即n为正整数）；
以下在不至于混淆的情况下均略去“正”字，即整数就是正整数，偶数就是正偶数，奇数就是正奇数，互素数就是正互素数等。

用两个与6互素的互素数（6k+1,6k+5）相加可以合成除4以外的全部偶数，这里的k=0,1,2,3……（即k为自然数）；
对于偶数6n有2n种合成法，6n-2有n-1种合成法，6n-4有n种合成法。
加 1 5 7 11 13 17 19
1 2 6 8 12 14 18 20
5 6 10 12 16 18 22 24
7 8 12 14 18 20 24 26
11 12 16 18 22 24 28 30
13 14 18 20 24 26 30 32
17 18 22 24 28 30 34 36
19 20 24 26 30 32 36 38

偶数合成法偶数合成法
2 1 12 4
4 0 14 3
6 2 16 2
8 2 18 6
10 1 20 4

yangchuanju · 发表于 2023-12-26 13:44

用两个与6不互素的奇数3,9,15……相加可以合成什么样的偶数？又有多少种？
计算表明用两个与6不互素的奇数3,9,15……相加可以合成除2和6以外的全部偶数；
对于偶数6n有n种合成法，6n-2有0种合成法，6n-4有0种合成法。
加 3 9 15 21 27 33 39
3 6 12 18 24 30 36 42
9 12 18 24 30 36 42 48
15 18 24 30 36 42 48 54
21 24 30 36 42 48 54 60
27 30 36 42 48 54 60 66
33 36 42 48 54 60 66 72
39 42 48 54 60 66 72 78

偶数合成法偶数合成法
2 0 16 0
4 0 18 3
6 1 20 0
8 0 22 0
10 0 24 4
12 2 26 0
14 0 28 0

yangchuanju · 发表于 2023-12-26 13:53

本帖最后由 yangchuanju 于 2024-1-1 23:24 编辑

对于偶数6n,6n-2,6n-4在用与2互素的奇数两两相加时分别有3n,3n-1,3n-2种合成法；
对于偶数6n,6n-2,6n-4在用与6不互素的奇数3,9,15……两两相加时分别有n,0n,0n种合成法；
对于偶数6n,6n-2,6n-4在用与6互素的奇数1,5,7,11,13……两两相加时若用减法，则分别有2n,3n-1,3n-2种合成法——相减法显然不对了；
实际上对于偶数6n有2n种合成法，6n-2有n-1种合成法，6n-4有n种合成法。
这是因为在用与2互素的奇数两两相加之中包括有与6互素的1,5,7……和与6不互素的3,9,15……两两相加的合成法数。

用一个与6不互素的奇数3,9,15……，一个与6互素的奇数1,5,7,11,13……两两相加合成表
加 3 9 15 21 27 33 39
1 4 10 16 22 28 34 40
5 8 14 20 26 32 38 44
7 10 16 22 28 34 40 46
11 14 20 26 32 38 44 50
13 16 22 28 34 40 46 52
17 20 26 32 38 44 50 56
19 22 28 34 40 46 52 58

偶数合成法偶数合成法
2 0 16 3
4 1 18 0
6 0 20 3
8 1 22 4
10 2 24 0
12 0 26 3
14 2 28 4

对于偶数6n有0种合成法，6n-2有n种合成法，6n-4有n-1种合成法；双倍计算分别为0n，2n，2n-2；
再从2n,3n-1,3n-2之中减去0n,2n,2n-2可得2n,n-1,n；方才正确！

偶数 6n 6n-2 6n-4 备注
奇数和 3n 3n-1 3n-2 (1)对于偶数6n,6n-2,6n-4在用与2互素的奇数两两相加时分别有3n,3n-1,3n-2种合成法；
6不互素 n 0 0 (2)对于偶数6n,6n-2,6n-4在用与6不互素的奇数3,9,15……两两相加时分别有n,0n,0n种合成法；
混合1 0 n n-1 (3)行不互素、列互素时两奇数和——偶数6n有0种合成法，6n-2有n种合成法，6n-4有n-1种合成法；
混合2 0 n n-1 (4)行互素、列不互素时两奇数和——偶数6n有0种合成法，6n-2有n种合成法，6n-4有n-1种合成法。
6互素 2n n-1 n (5)=(1)-(2)-(3)-(4)

用与6互素的两互素数列中的奇数两两相加，可以合成除4以外的任何偶数；
去掉1后再用与6互素的两互素数列中的奇数两两相加，可以合成除2,4,6,8以外的任何偶数。
6n、6n-2、6n-4类偶数分别有2n、n-1、n个互素数对。

yangchuanju · 发表于 2023-12-26 14:00

用两个与30互素的互素数（30k+1,+7,+11,+13,+17,+19,+23,+29）相加可以合成除4,6,10,16以外的全部偶数，这里的k=0,1,2,3……（即k为自然数）；
对于偶数30n有8n种合成法，30n-2,-4,-8,-14,-16,-22,-26,-28分别有3n-2,-3,-1,-0,-3,-2,-0,-1种合成法；30n-6,-12,-18,-24分别有6n-6,-4,-2,-0种合成法；30n-10,-20分别有4n-4,4n种合成法。
或对于偶数30n有8n种合成法，30n+2,+4,+8,+14,+16,+22,+26,+28分别有3n+1,+0,+2,+3,+0,+1,+3,+2种合成法；30n+6,+12,+18,+24分别有6n+0,+2,+4,+6种合成法；30n+10,+20分别有4n+0,4n+4种合成法。
请注意第一类余数的n系数是3，前后两减数或加数的和等于3；第二类余数的n系数是6，前后两减数或加数的和等于6；第三类余数的n系数是4，前后两减数或加数的和等于4。
加 1 7 11 13 17 19 23 29 31
1 2 8 12 14 18 20 24 30 32
7 8 14 18 20 24 26 30 36 38
11 12 18 22 24 28 30 34 40 42
13 14 20 24 26 30 32 36 42 44
17 18 24 28 30 34 36 40 46 48
19 20 26 30 32 36 38 42 48 50
23 24 30 34 36 40 42 46 52 54
29 30 36 40 42 46 48 52 58 60
31 32 38 42 44 48 50 54 60 62
37 38 44 48 50 54 56 60 66 68
41 42 48 52 54 58 60 64 70 72
43 44 50 54 56 60 62 66 72 74
47 48 54 58 60 64 66 70 76 78
49 50 56 60 62 66 68 72 78 80
53 54 60 64 66 70 72 76 82 84
59 60 66 70 72 76 78 82 88 90

偶数合成法偶数合成法增
2 1 32 4 3
4 0 34 3 3
6 0 36 6 6
8 2 38 5 3
10 0 40 4 4
12 2 42 8 6
14 3 44 6 3
16 0 46 3 3
18 4 48 10 6
20 4 50 8 4
22 1 52 4 3
24 6 54 12 6
26 3 56 6 3
28 2 58 5 3
30 8 60 16 8

yangchuanju · 发表于 2023-12-26 14:01

用两个与30不互素的奇数3,5,9,15,21,25,27,33……相加可以合成什么样的偶数？又有多少种？
计算表明用两个与30不互素的奇数3,5,9,15……相加可以合成除2,4,16和22以外的全部偶数；
对于偶数30n有7n种合成法，30n-2,-4,-8,-14,-16,-22,-26,-28分别有2n-0,-0,-2,-2,-0,-0,-2,-2种合成法；30n-6,-12,-18,-24分别有5n-1,-2,-3,-4种合成法；30n-10,-20分别有3n-1,3n-2种合成法。
或对于偶数30n有7n种合成法，30n+2,+4,+8,+14,+16,+22,+26,+28分别有2n+0,+0,+2,+2,+0,+0,+2,+2种合成法；30n+6,+12,+18,+24分别有5n+1,+2,+3,+4种合成法；30n+10,+20分别有3n+1,3n+2种合成法。
请注意第一类余数的n系数是2，前后两减数或加数的和等于2；第二类余数的n系数是5，前后两减数或加数的和等于5；第三类余数的n系数是3，前后两减数或加数的和等于3。
加 3 5 9 15 21 25 27 33 35
3 6 8 12 18 24 28 30 36 38
5 8 10 14 20 26 30 32 38 40
9 12 14 18 24 30 34 36 42 44
15 18 20 24 30 36 40 42 48 50
21 24 26 30 36 42 46 48 54 56
25 28 30 34 40 46 50 52 58 60
27 30 32 36 42 48 52 54 60 62
33 36 38 42 48 54 58 60 66 68
35 38 40 44 50 56 60 62 68 70
39 42 44 48 54 60 64 66 72 74
45 48 50 54 60 66 70 72 78 80
51 54 56 60 66 72 76 78 84 86
55 58 60 64 70 76 80 82 88 90
57 60 62 66 72 78 82 84 90 92
63 66 68 72 78 84 88 90 96 98
69 72 74 78 84 90 94 96 102 104

偶数合成法偶数合成法增
2 0 32 2 2
4 0 34 2 2
6 1 36 6 5
8 2 38 4 2
10 1 40 4 3
12 2 42 7 5
14 2 44 4 2
16 0 46 2 2
18 3 48 8 5
20 2 50 5 3
22 0 52 2 2
24 4 54 9 5
26 2 56 4 2
28 2 58 4 2
30 7 60 14 7

yangchuanju · 发表于 2023-12-26 14:02

用一个与30不互素的奇数3,5,9,15,21,25,27,33……，一个与30互素的奇数1,7,11,13,17,19,23,29,31……相加可以合成什么样的偶数？又有多少种？
计算表明用一个与30不互素的奇数3,5,9,15,21,25,27,33……，一个与30互素的奇数1,7,11,13,17,19,23,29,31……相加可以合成除2,8,22,30和60以外的全部偶数；
对于偶数30n有0种合成法，30n-2,-4,-8,-14,-16,-22,-26,-28分别有5n-0,-1,-0,-1,-4,-5,-4,-5种合成法；30n-6,-12,-18,-24分别有2n-1,-1,-1,-1种合成法；30n-10,-20分别有4n-2,4n-2种合成法。
或对于偶数30n有0种合成法，30n+2,+4,+8,+14,+16,+22,+26,+28分别有5n+0,+1,+0,+1,+4,+5,+4,+5种合成法；30n+6,+12,+18,+24分别有2n+1,+1,+1,+1种合成法；30n+10,+20分别有4n+2,4n+2种合成法。
请注意第一类余数的n系数是5，前后两减数或加数的和等于5；第二类余数的n系数是2，前后两减数或加数的和等于2；第三类余数的n系数是4，前后两减数或加数的和等于4。
加 3 5 9 15 21 25 27 33 35
1 4 6 10 16 22 26 28 34 36
7 10 12 16 22 28 32 34 40 42
11 14 16 20 26 32 36 38 44 46
13 16 18 22 28 34 38 40 46 48
17 20 22 26 32 38 42 44 50 52
19 22 24 28 34 40 44 46 52 54
23 26 28 32 38 44 48 50 56 58
29 32 34 38 44 50 54 56 62 64
31 34 36 40 46 52 56 58 64 66
37 40 42 46 52 58 62 64 70 72
41 44 46 50 56 62 66 68 74 76
43 46 48 52 58 64 68 70 76 78
47 50 52 56 62 68 72 74 80 82
49 52 54 58 64 70 74 76 82 84
53 56 58 62 68 74 78 80 86 88
59 62 64 68 74 80 84 86 92 94

偶数合成法偶数合成法增
2 0 32 5 5
4 1 34 6 5
6 1 36 3 2
8 0 38 5 5
10 2 40 6 4
12 1 42 3 2
14 1 44 6 5
16 4 46 9 5
18 1 48 3 2
20 2 50 6 4
22 5 52 10 5
24 1 54 3 2
26 4 56 9 5
28 5 58 10 5
30 0 60 0 0

yangchuanju · 发表于 2023-12-26 14:25

本帖最后由 yangchuanju 于 2023-12-26 22:39 编辑

互素数对数验算表
（本楼表=4楼表--5楼表--6楼表*2，已转置）
偶数奇数和 30不互素不互素+互素1 不互素+互素2 连减 30互素
2 1 0 0 0 1 1
4 2 0 1 1 0 0
6 3 1 1 1 0 0
8 4 2 0 0 2 2
10 5 1 2 2 0 0
12 6 2 1 1 2 2
14 7 2 1 1 3 3
16 8 0 4 4 0 0
18 9 3 1 1 4 4
20 10 2 2 2 4 4
22 11 0 5 5 1 1
24 12 4 1 1 6 6
26 13 2 4 4 3 3
28 14 2 5 5 2 2
30 15 7 0 0 8 8
余0 15n 7n 0n 0n 8n 8n
余2 15n 2n 5n 5n 3n 3n
余6 15n 5n 2n 2n 6n 6n
余10 15n 3n 4n 4n 4n 4n
—— (1) (2) (3) (4) (5)=(1)-(2)-(3)-(4)
后两列数字完全相同！

（1）对于偶数30n+0,+2,+4,…,+28在用与2互素的奇数两两相加时分别用15n+0,+1,+2,…,+14种合成法；
（2）对于偶数30n+0,+2,+4,…,+28在用与30不互素的奇数3,5,9,15……两两相加时分别在7n,2n,5n,3n之上加上对应个数即为该法的合成法数；
（3）行不互素、列互素时两奇数和——两两相加时分别在0n,5n,2n,4n之上加上对应个数即为该法的合成法数；
（4）行互素、列不互素时两奇数和——两两相加时分别在0n,5n,2n,4n之上加上对应个数即为该法的合成法数。
(5)=(1)-(2)-(3)-(4)

用与30互素的两互素数列中的奇数两两相加，可以合成除4,6,10,16以外的任何偶数；
去掉1后再用与30互素的两互素数列中的奇数两两相加，可以合成除2-12及16以外的任何偶数。
模30余0型偶数30n的互素数对数等于8n；
模30余2,4,8,14,16,22,26,28型偶数30n+2,4,8,14,16,22,26,28的互素数对数等于3n+1,0,2,3,1,3,3,2；
模30余6,12,18,24型偶数30n+6,12,18,24的互素数对数等于6n+0,2,4,6；
模30余10,20型偶数30n+10,20的互素数对数等于4n+0,4。

yangchuanju · 发表于 2023-12-27 06:47

本帖最后由 yangchuanju 于 2023-12-27 03:33 编辑

各个偶数都可以写成30n+m的形式，当用两个与30互素的互素数两两相加时互素数对数S都可以表示成
S=an+b，这里S——互素数对数，n,a,b都是大于等于0的自然数，b与m一一对应。
对前述互素数对数验算表稍加变换即可得到下面的互素数对数计算表：
模30余数m a b
0 8 0
2 3 1
4 3 0
6 6 0
8 3 2
10 4 0
12 6 2
14 3 3
16 3 0
18 6 4
20 4 4
22 3 1
24 6 6
26 3 3
28 3 2
例偶数32=30*1+2，n=1，a=8，b=1；32可表示成3*1+1=4对与30互素的互素数对数32=1+31=11+19=19+11=31+1。

yangchuanju · 发表于 2023-12-27 11:36

互素数对数计算式an+b给出的结果是某偶数30n+m的互素数对数值，其中包括表示与30互素但不是素数的1,49,77,91……，
它不是偶数30n+m的哥德巴赫猜想素数对数。
210以内与30互素但不是素数的整数有1,49,77,91,119,121,133,143,161,169,187,203,209，共13个；56+3-13=46；

210以内与30互素的互素数（WDY数）
1 31 61 91 121 151 181
7 37 67 97 127 157 187
11 41 71 101 131 161 191
13 43 73 103 133 163 193
17 47 77 107 137 167 197
19 49 79 109 139 169 199
23 53 83 113 143 173 203
29 59 89 119 149 179 209

210以内与30互素的素数（不含235，43个）
— 31 61 — — 151 181
7 37 67 97 127 157 —
11 41 71 101 131 — 191
13 43 73 103 — 163 193
17 47 — 107 137 167 197
19 — 79 109 139 — 199
23 53 83 113 — 173 —
29 59 89 — 149 179 —

yangchuanju · 发表于 2023-12-27 11:39

本帖最后由 yangchuanju 于 2023-12-27 04:42 编辑

在分别计算出（1）互素数+互素数、（2）互素数+不含235的素数、（3）不含235的素数+不含235的素数、（4）互素数+非素互素数、（5）非素互素数+非素互素数之和个数后，
对5个和的个数进行统计分析，得到(3)=(1)-(4)*2+(5)，即两不含235的素数和的个数等于两互素数和的个数-（互素数+非素互素数）和的个数*2+两非素互素数和的个数。其中（2）为无用数据。

式号 1 2 3 4 5
偶数对数对数对数对数对数
2 1 0 0 1 1
4 0 0 0 0 0
6 0 0 0 0 0
8 2 1 0 1 0
10 0 0 0 0 0
12 2 1 0 1 0
14 3 2 1 1 0
16 0 0 0 0 0
18 4 3 2 1 0
20 4 3 2 1 0
22 1 1 1 0 0
24 6 5 4 1 0
26 3 3 3 0 0
28 2 2 2 0 0
30 8 7 6 1 0
32 4 3 2 1 0
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