解不定方程x^a+y^b=z^c

朱明君

一，$设\ x^a+y^b=z^c{,}\ 其中\ x{,}y{,}z{,}a{,}b{,}c{,}n为正整数，$
       $则\left( xz^{nb}\right)^a+\left( yz^{na}\right)^b=z^{nab+c}$
二，$设\ x^a+y^b=z^c{,}\ 其中\ x{,}y{,}z{,}a{,}b{,}c{,}n{,}为正整数，$
       $若a是nb的倍数，则\left( xz\right)^a+\left( yz^n\right)^b=z^{a+c}$
三，$设\ x^n+y^{n+1}=z^n,其中\ x{,}y{,}z{,}n{,}K为正整数，$
       $且2^n-1=x=y{,}\ \ 2\left( 2^n-1\right)=z{,}$
       $则\left( 2^n-1\right)^n+\left( 2^n-1\right)^{n+1}=\left( 2\left( 2^n-1\right)\right)^n$
       $则\left( xK^{n+1}\right)^n+\left( yK^n\right)^{n+1}=\left( zK^{n+1}\right)^n$
       $若n=ab，$
        $则\left( \left( 2^{ab}-1\right)^b\right)^a+\left( 2^{ab\ }-1\right)^{ab+1}=\left( \left( 2\times\left( 2^{ab}-1\right)\right)^b\right)^a$
          $则\left( \left( 2^{ab}-1\right)^a\right)^b+\left( 2^{ab}-1\right)^{ab+1}=\left( \left( 2\times\left( 2^{ab}-1\right)\right)^a\right)^b$
          $则\left( \left( 2^{ab}-1\right)^b\right)^a+\left( 2^{ab}-1\right)^{ab+1}=\left( \left( 2\times\left( 2^{ab}-1\right)\right)^a\right)^b$
          $则\left( \left( 2^{ab\ \ }-1\right)^a\right)^b+\left( 2^{ab}-1\right)^{ab+1}=\left( \left( 2\times\left( 2^{ab}-1\right)\right)^b\right)^a$
四，$设n为正整数，$
       $则\left( 2^n\right)^{n+2}+\left( 2^n\right)^{n+2}=\left( 2\times2^n\right)^{n+1}$
       $若n+2=ab{,}\ \ n+1=cd{,}$
       $则\left( \left( 2^n\right)^a\right)^b+\left( \left( 2^n\right)^a\right)^b=\left( \left( 2\times2^n\right)^c\right)^d$
       $则\left( \left( 2^n\right)^a\right)^b+\left( \left( 2^n\right)^a\right)^b=\left( \left( 2\times2^n\right)^d\right)^c$
       $则\left( \left( 2^n\right)^b\right)^a+\left( \left( 2^n\right)^b\right)^a=\left( \left( 2\times2^n\right)^c\right)^d$
       $则\left( \left( 2^n\right)^b\right)^a+\left( \left( 2^n\right)^b\right)^a=\left( \left( 2\times2^n\right)^d\right)^c$
       $则\left( \left( 2^n\right)^a\right)^b+\left( \left( 2^n\right)^b\right)^a=\left( \left( 2\times2^n\right)^c\right)^d$
       $则\left( \left( 2^n\right)^a\right)^b+\left( \left( 2^n\right)^b\right)^a=\left( \left( 2\times2^n\right)^d\right)^c$
五，$设x，n为正整数，$
       $则2^{xn}+2^{xn}=2^{xn+1}$
       $则\left( 2^n\right)^x+\left( 2^n\right)^x=2^{nx+1}$
       $则\left( 2^x\right)^n+\left( 2^x\right)^n=2^{nx+1}$
       $则\left( 2^n\right)^x+\left( 2^x\right)^n=2^{nx+1}$
      
              
(第1题)
$解方程x^{202401}+y^3=z^{202403}$
$原方程，1^a+2^3=3^2{,}\ \ 其中a为大于等于1的正整数，$
$若a是nb的倍数，则\left( xz\right)^a+\left( yz^n\right)^b=z^{a+c}$
$设a=202401，\ 代入公式得$
$\left( 1\times3^1\right)^{202401}+\left( 2\times3^{67467}\right)^3=3^{202403}$

(第2题)
$解方程x^3+y^4=z^5$
$原方程，2^3+1^b+=3^2{,}\ 其中b为大于等于1的正整数,$
$则\left( xz^{nb}\right)^a+\left( yz^{na}\right)^b=z^{nab+c}$
$设b=4,   \ n=4， \ 代入公式得$
$\left( 2\times3^{16}\right)^3+\left( 1\times3^{12}\right)^4=\left( 3^{10}\right)^5$

(第3题)
$解方程x^n+y^{n+1}=z^n{,}\ \ 其中x,y,z,n为正整数，$
$且2^n-1=x=y{,}\ \ 2\left( 2^n-1\right)=z{,}$
$一，则\left( 2^n-1\right)^n+\left( 2^n-1\right)^{n+1}=\left( 2\left( 2^n-1\right)\right)^n$
$二，则\left( xK^{n+1}\right)^n+\left( yK^n\right)^{n+1}=\left( zK^{n+1}\right)^n$
$设n=4{,}\ 代入公式一得$
           $\left( 2^4-1\right)^4=\left( 2^4-1\right)^5=\left( 2\left( 2^4-1\right)\right)^4$
$设n=3{,}\ \ K=4{,}\ \ 代入公式二得$
          $\left( \left( 2^3-1\right)\times4^4\right)^3+\left( \left( 2^3-1\right)\times4^3\right)^4=\left( 2\left( 2^3-1\right)\times4^4\right)^3$

(第3题)
$x^8+y^{15}=z^{17}，$
$解:原方程是2^3+1^4=3^2，$
$则\left( 2\times3^{480}\right)^8+\left( 1\times3^{256}\right)^{15}=\left( 3^{226}\right)^{17}$

(第4题)
$x^8+y^{17}=z^{15}$
解:原方程是$2^2+2^2=2^3{,}$
$则\left( 2\times2^{204}\right)^8+\left( 2\times2^{96}\right)^{17}=\left( 2^{109}\right)^{15}$

(第5题)
$x^6+y^8=z^{14}$
$解：原方程是2^3+1^4=3^2，$
$则\left( 2\times3^{16}\right)^6+\left( 1\times3^{12}\right)^8=\left( 3^7\right)^{14}$

(第6题)
$x^9+y^{16}=z^{25}$
$解：原方程是2^4+2^4=2^5，$
$则\left( 2\times2^{80}\right)^9+\left( 2\times2^{45}\right)^{16}=\left( 2^{29}\right)^{25}$

(第7题)
$x^2+y^2=z^5$
$解：原方程是5^2+12^2=13^2$   
$则\left( 5\times13^4\right)^2+\left( 12\times13^4\right)^2=\left( 13^2\right)^5$

(第8题)
$a^2+b^2+c^2=d^3$
$解:原方程是3^2+3^2+3^2=3^3$
$则\left( 3\times3^{12}\right)^2+\left( 3\times3^{12}\right)^2+\left( 3\times3^{12}\right)^2=\left( 3^9\right)^3$


(第9题)
$x^5+y^2=z^2$
$解：原方程是3^1-1^1=2^1$
$则\left( 3^3\right)^5+\left( 1\times3^7\right)^2=\left( 2\times3^7\right)^2$

朱明君

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lusishun

题：求x^100+y^100+z^100+D^101=g^100
的一组正整数解

朱明君

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lusishun

在（3）中，您还没有明白，在细细思考，为什么要“且”，且的得来，是关键。要把这点思考清楚，

lusishun

lusishun 发表于 2024-1-18 15:45
题：求x^100+y^100+z^100+D^101=g^100
的一组正整数解

这题你做不出来，就是因为，您没有从根本上理解明白

lusishun

朱先生试试：
直接写出：
A^20240119+B^20240119+c^20240119+d^20240119+e^20240120=f^20240119
的一组正整数解。

朱明君

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