互素数是能够证明哥猜的之三

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帖子《互素数是能够证明哥猜的之二》之中有不少错误，不再继续在那里发帖。

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哥德巴赫猜想连乘积计算式与互素数对数计算式的区别与统一
哥德巴赫猜想连乘积计算式大家都非常熟悉，它就是R2=N/2*∏(p-2)/p*∏(p-1)/(p-2)；
式中第一个连乘号中的p为偶数N平方根内的奇素数，第二个连乘号中的p仅为偶数N平方根内能够整除N的奇素数。

笔者曾对互素数系统做过一番探索，给出
在与p#互素的互素数系统中互素数对数Sp=Ap*[N/p#]+Bp，（Sp、Ap、Bp都是整体符号，p是下标）
式中系数Ap最小是(p-2)#，最大是(p-1)#，实际是(p-2)和(p-1)的混合乘积，是连乘积计算式中的第一个连乘号的分子乘以第二个连乘号的积；
取整号中的分母p#是第一个连乘号的分母的2倍；
若去掉取整号，互素数对数计算式中的第一项就是哥德巴赫猜想连乘积计算式。
已经查明，当筛分至偶数N的平方根内最大素数p时，一般来说[N/p#]都等于0（N>48时)，互素数对数S=Bp≤Ap；
偶数        连乘积        互素对数        互素系统p#        [N/p#]
10        1.666666667        1        6        1
24        8        8        6        4
26        2.6        3        30        0
30        8        8        30        1
48        9.6        10        30        1
50        4.761904762        4        210        0
120        22.85714286        22        210        0
122        7.12987013        7        2310        0
168        23.56363636        24        2310        0
170        11.20879121        12        30030        0
210        33.23076923        34        30030        0
288        37.97802198        28        30030        0
290        16.87136393        16        510510        0
360        41.88752424        40        510510        0
362        14.1324465        11        9699690        0
528        45.80682475        44        9699690        0
530        25.18922725        26        223092870        0
840        95.81411723        96        223092870        0
842        27.94332591        29        6469693230        0
960        84.95833055        82        6469693230        0
962        32.58111491        32        2.0056E+11        0
1368        89.93774314        96        2.0056E+11        0
1370        53.64483732        54        7.42074E+12        0
1680        157.8802804        158        7.42074E+12        0
1682        48.72699597        44        3.0425E+14        0
1848        137.663903        138        3.0425E+14        0
1850        67.57867957        72        1.30828E+16        0
2208        123.2245472        118        1.30828E+16        0
2210        89.06286481        88        6.1489E+17        0
2310        209.4589321        216        6.1489E+17        0

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30以内共有15个与2互素的互素数（奇数），30除以下一个素数3等于10，10以内有5个与2互素的互素数，分别是1,3,5,7,9，乘以3等于3,9,15,21,27，除去之剩余10个与6互素的互素数；
210以内共有（15*7=）105个与2互素的互素数（奇数），210除以下一个素数3等于70，70以内有35个与2互素的互素数，分别是1,3,5,7,9……69，乘以3等于3,9,15,21,27……207，除去之剩余70个与6互素的互素数。

30以内共有10个与6互素的互素数，30除以下一个素数5等于6，6以内有2个与6互素的互素数，分别是1,5，乘以5等于5,25，除去之剩余8个与30互素的互素数；
210以内共有（10*7=）70个与6互素的互素数，210除以下一个素数5等于42，42以内有14个与6互素的互素数，分别是1,5,7,11,13,17,19,23,25,29,31,35,37,41，乘以5等于5,25,35,55,65,85,95,115,125,145,155,175,185,205，除去之剩余56个与30互素的互素数。

210以内共有（8*7=）56个与30互素的互素数，210除以7等于30，30以内有8个与30互素的互素数，分别是1,7,11,13,17,19,23,29，乘以7等于7,49,77,91,119,133,161,203，除去之剩余48个与210互素的互素数;
2310以内共有（56*11=）616个与30互素的互素数，2310除以7等于330，330以内有（8*11=）88个与30互素的互素数，分别是1,7,11,13,17,19,23,29，……329，乘以7等于7,49,77,91,119,133,161,203，……2303，除去之剩余528个与210互素的互素数。
30030以内共有（56*11*13=）8008个与30互素的互素数，30030除以7等于4290，4290以内有（88*13=）1144个与30互素的互素数，分别是1,7,11,13,17,19,23,29，……4289，乘以7等于7,49,77,91,119,133,161,203，……30023，除去之剩余6864个与210互素的互素数。

2310以内共有（48*11=）528个与210互素的互素数，2310除以11等于210，210以内有48个与210互素的互素数，分别是1,11,13,17,19,23,29，……209，乘以11等于11,121,143,187,209,253,319，……2299，除去之剩余480个与2310互素的互素数。
30030以内共有（528*13=）6864个与210互素的互素数，30030除以11等于2730，2730以内有（48*13=）624个与210互素的互素数是1,11,13,17,19,23,29，……2729，乘以11等于11,121,143,187,209,253,319，……30019，除去之剩余6240个与2310互素的互素数。

30030以内共有（480*13=）6240个与2310互素的互素数，30030除以13等于2310，2310以内有480个与2310互素的互素数，分别是1,13,17,19,23,29，……2309，乘以13等于13,169,221，……30017，除去之剩余5760个与30030互素的互素数。

偶数        2互素        6互素        30互素        210互素        2310互素        30030互素
6        3        2        ——        ——        ——        ——
30        15        10        8        ——        ——        ——
210        105        70        56        48        ——        ——
2310        1155        770        616        528        480        ——
30030        15015        10010        8008        6864        6240        5760
510510        255255        170170        136136        116688        106080        97920

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在与30互素的互素数系统中，3-5的倍数数已经不存在，可从与6互素的互素数系统中删除2个与30不互素数的5的倍数数即可；
在与210互素的互素数系统中，3-7的倍数数已经不存在，可从与30互素的互素数系统中删除8个与210不互素数的7的倍数数即可；
在与2310互素的互素数系统中，3-11的倍数数已经不存在，可从与210互素的互素数系统中删除48个与2310不互素数的11的倍数数即可；
在与30030互素的互素数系统中只要再删除13的倍数数即可，内有480个与30030不互素的13倍数数；
在与510510互素的互素数系统中只要再删除17的倍数数即可，内应有480*12=5760个与510510不互素的17倍数数；

由与30互素的互素数系统中的A5、B5、S5，根据互素数对数计算式可算出210以内的各个A5、S5；再从S5中减去2-210中的7倍数数，即得S7；进而得B7。
由210互素数系统中的A7、B7、S7，根据互素数对数计算式可算出2310以内的各个A7、S7；再从S7中减去2-2310中的11倍数数，即得S11；进而得B11。
由2310互素数系统中的A11、B11、S11，根据互素数对数计算式可算出30030以内的各个A11、S11；再从S11中减去2-30030中的13倍数数，即得S13；进而得B13。
由30030互素数系统中的A13、B13、S13，根据互素数对数计算式可算出510510以内的各个A13、S13；再从S13中减去2-510510中的17倍数数，即得S17；进而得B17。

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误差
用3筛最大正负误差为2/3；
用3和5筛最大正负误差为1.6=8/5，各个误差乘以5不都是整数，只有乘以15才都是整数；
用3,5和7筛最大正负误差为2.285714=16/7，各个误差乘以7,35不都是整数，只有乘以105才都是整数；
用3,5,7和11筛最大正负误差为5.662338=436/77，各个误差乘以7,11,77不都是整数，只有乘以1155才都是整数；
用3,5,7,11和13筛最大正负误差为13.2527472527472=1206/91，各个误差乘以7,13,91,1001不都是整数，只有乘以15015才都是整数；
p#        最大误差        误差分子        分母
6        0.666666667        2        3
30        1.6        8        5
210        2.285714286        22        7
2310        5.662337662        436        77
30030        13.25274725        1206        91

yangchuanju

笔者试图再扩大一级，求出用素数3,5,7,11,13,17联合筛分的最大误差，尚未成功！
试图由与30030互素的互素数系统导出与510510互素数系统中偶数2-510510的各个互素数对数S17，也尚未成功！

yangchuanju

不同偶数段（按素数的平方分段）的互素数对数极值表：
小偶数        大偶数        互素        最小        最大
2        8        2#        1        4
10        24        3#        1        8
26        48        5#        2        10
50        120        7#        4        22
122        168        11#        7        24
170        288        13#        8        36
290        360        17#        11        44
362        528        19#        11        60
530        840        23#        17        96
842        960        29#        27        88
962        1368        31#        27        130
1370        1680        37#        30        158
1682        1848        41#        39        150
1850        2208        43#        44        184
2210        2310        47#        50        216
在这些互素数对数中减去可能残存的含1互素数对（2个或0个），加上已被删除掉的与p#不互素的根内小素数对，对于大于等于50的所有偶数，其哥德巴赫猜想素数对数最小是4-2=2，哥德巴赫猜想一定是成立的！

yangchuanju

设素数p的下一个素数是q，对于大于等于p^2+1、小于等于q^2-1的任一个偶数N，平方根内的最大素数是p；
在累次筛分中，互素数对数逐渐减少，一般来说在与2互素的互素数（奇数）系统中互素数对数是N/2对；
在与6互素的互素数系统中互素数对数≥[N/6]对；在与30互素的互素数系统中互素数对数≥[N/30]对；……
在与p#互素的互素数系统中互素数对数≥[N/p#]对，确切一点就是Sp≥(p-2)#*[N/p#]+Bp，式中(p-2)#≥1，Bp≥0。

对于偶数N，如果筛分不到它根内最大素数p，在其互素数对中可能还含有非素互素数对；
但若不管到没到p，继续筛下去，总能筛到0；故此，筛分到素数p（即p#）时就要适可而止。

偶数2不论筛至哪一级，都筛不掉0除外；
偶数4=1+3=3+1，筛至3#=6时为0；
偶数6=1+5=3+3=5+1，筛至5#=30时为0；
偶数8=1+7=3+5=5+3=7+1，筛至7#=210时为0；
偶数10=1+9=3+7=5+5=7+3=9+1，筛至5#=30时为0；
……
12——11#；14——13#；16——5#；18——17#；20——19#；
22——11#；24——23#；26——13#；28——11#；30——29#；……

当筛分至偶数N根内最大素数p时，筛余互素数对中可能还含有非素互素数对1+(N-1)和(N-1)=1，
另在筛余互素数对中可能有的N根内小素数对又被筛除掉了；
此时只要筛余互素数对数≥3，则其中必然有哥德巴赫猜想素数对存在。

已经算得，当N≥50时，最小互素数对数（即常数Bp）是4，故≥50的偶数都一定有哥德巴赫猜想素数对存在，哥德巴赫猜想一定成立！
另对小于50的偶数逐个检验知它们除2不能表示成素数对外都有素数对存在，不再强调。

yangchuanju

yangchuanju 发表于 2024-1-20 09:21
误差
用3筛最大正负误差为2/3；
用3和5筛最大正负误差为1.6=8/5，各个误差乘以5不都是整数，只有乘以15才 ...

在与6互素的互素数系统中的误差，即仅用素数3进行筛分的误差，每3个偶数一循环，最大正负误差等于2/3，出现在6k+4、6k+2处；每循环节中有1个0误差偶数6k，式中k=0,1,2,3……；
在与30互素的互素数系统中的误差，即用素数3和5联合筛分的误差，每15个偶数一循环，最大正负误差等于1.6，出现在30k+16、30k+14处；每循环节中有1个0误差偶数30k；
在与210互素的互素数系统中的误差，即用素数3,5和7联合筛分的误差，每105个偶数一循环，最大正负误差等于2.285714=14/7，出现在210k+156、210k+54处；每大循环节中有3个0误差偶数210k,210k+70,210k+140，小节长70；
在与2310互素的互素数系统中的误差，即用素数3,5,7和11联合筛分的误差，每1155个偶数一循环，最大正负误差等于5.66234=436/77，出现在2310k+1212、2310k+1098处；每循环节中有15个0误差偶数2310k,2310k+154,2310k+308，……，小节长154；
在与30030互素的互素数系统中的误差，即用素数3,5,7,11和13联合筛分的误差，每15015个偶数一循环，最大正负误差等于13.252747=1206/91，出现在30030k+14694、30030k+15336处；每循环节中有15个0误差偶数30030k,30030k+2002,30030k+4004，……，小节长2002；
……
4模3余1；2模3余2；
16模3余1，模5余1；14模3余2，模5余4；
156模3余0，模5余1，模7余2；54模3余0，模5余4，模7余5；出现3个0误差偶数可能是因为7=3*2+1的缘故；
1212模3余0，模5余2，模7余1，模11余2；1098模3余0，模5余3，模7余6，模11余9；出现15个0误差偶数可能是因为7=3*2+1、11=5*2+1的缘故；
对于30030互素系统的最大正负误差偶数模余数情况见下表，请注意最大正误差偶数不再在大于最大负误差偶数了；出现15个0误差偶数也可能是因为7=3*2+1、11=5*2+1的缘故：
模余        3        5        7        11        13
14694        0        4        1        9        4
15336        0        1        6        2        9

yangchuanju

两天啦，我的帖子无人问津，只好自发一贴顶上来！