X^6+y^8=z^10

lusishun

有整数解吗？
大家讨论。

朱明君

X^6+y^8=z^10
\(原方程是2^3+1^2=3^2\)
\(则\left( 2\times3^8\right)^6+\left( 1\times3^6\right)^8=\left( 3^5\right)^{10}\)

朱明君

，，，，，，，，

lusishun

Cal 网友说的是指凑指凑底法吗？
由3^2+4^2=5^2开始，
两边同乘以5^8,
得
3^2·5^8+4^2·5^8=5^10,
…………

lusishun

lusishun 发表于 2024-1-25 20:52
Cal 网友说的是指凑指凑底法吗？
由3^2+4^2=5^2开始，
两边同乘以5^8,

可能是做不出来

lusishun

lusishun 发表于 2024-1-25 20:52
Cal 网友说的是指凑指凑底法吗？
由3^2+4^2=5^2开始，
两边同乘以5^8,

续：两边同乘以（3·5^4)^40,
…………………（省略），
两边再同乘以[4·5^4·（3·5^4)^20]^30,
……………………（省略）
得：
X^6=3^642·4^30·5^2688.
Y^8=3^640·4^32·5^2688.
Z^10=3^640·4^30·5^2690.


X=3^107·4^5·5^448,
Y=3^80·4^4·5^336,
Z=3^64·4^3·5^269.

lusishun

凑指确底法，更准确。

lusishun

lusishun 发表于 2024-1-26 06:44
凑指确底法，更准确。

探究
X^6+y^8+z^24=k^26
有没有正整数解

lusishun

lusishun 发表于 2024-1-26 23:42
探究
X^6+y^8+z^24=k^26
有没有正整数解

估计没有正整数解，在指数有公约数2的情况下，y的指数8与z的指数24的公约数有公约数8

lusishun

lusishun 发表于 2024-1-27 00:50
估计没有正整数解，在指数有公约数2的情况下，y的指数8与z的指数24的公约数有公约数8

由3^2+4^2+12^2=13^2 ,
第一步 ，两边同乘以3^4,
3^6+(4·3^2)^2+(12·3^2)^2=(13·3^2)^2,
(待续）