問一排列組合題

kezhulu

一個三位數與一個四位數之和是2003。如果7 個數字並無重複，合共有組合多少個？

elim

设 \(E=\{a,b,c,d,e,f,g\}\subset\{k\in\mathbb{N}: 0\le k<10\},\;|E|=7.\)
且 \(a\cdot 10^3+(b+e)10^2+(c+f)10+(d+g)=2003,\) 则\(a=1.\)
否则 \(3=(b+e)10^2+(c+f)10+(d+g)>100.\) 这不可能.
若 \(a=1,\;b+e=10,\) 则 \(3=(c+f)10+(d+g)> 10\) 也不可能，
故\(\;b+e =c+g= 9,\;d+g=13\) 或 \(b+e=e+f-1=9,\,d+g=3.\)
这对应
\((1)\;\{d,g\}=\{4,9\},\{b,e,c,f\}\subset\{0,2,3,5,6,7,8\}\)
\(\quad\;\;\{\{b,e\},\{c,f\}\}=\{\{2,7\},\{3,6\}\}\). 对应 \(2^4=16\)种组合.
\((2)\;\{d,g\}=\{5,8\},\{b,e,c,f\}\subset\{0,2,3,4,6,7,9\}\)
\(\quad\;\;\{\{b,e\},\{c,f\}\}\in\{\{0,9\},\{2,7\},\{3,6\}\}\). 对应 \(2^4=40\)种组合.
\((3)\;\{d,g\}=\{6,7\},\{b,e,c,f\}\subset\{0,2,3,4,5,8,9\}\)
\(\quad\;\;\{\{b,e\},\{c,f\}\}=\{\{0,9\},\{4,5\}\},e>0\). 对应 \(3\times 4=12\)种组合.
\((4)\;\{d,g\}=\{0,3\},\{b,e,c,f\}\subset\{0,2,3,4,5,8,9\}\)
\(\quad\;\;(\{b,e\},\{c,f\})\in\{(\{4,5\},\{2,8\}),(\{2,7\},\{4,6\})\}\), 计\(16\)种组合.
综上，所求组合数为 84.

谢谢楼下王守恩，补上了 (2) 的遗漏。

王守恩

千位=1。根据个位分5种情况。
个位=49: 27+36=16
个位=58: 09+27,09+36,27+36=12+12+16=40
个位=67: 09+45=12
个位=03: 45(百位)+28(十位)=8
个位=03: 27(百位)+46(十位)=8
合计:  16+40+12+8+8=84

kezhulu

感謝兩位..我研究一下..這道也是小五的數學競賽題..

王守恩

一個三位數與一個四位數之和是2024。如果7 個數字並無重複，合共有組合多少個？

Treenewbee

王守恩 发表于 2024-2-8 11:08
一個三位數與一個四位數之和是2024。如果7 個數字並無重複，合共有組合多少個？

1. Select[Table[{s,2024-s},{s,Range[102,987]}],CountDistinct@Flatten@IntegerDigits@(#)==7&]

复制代码

44组：

{{230,1794},{234,1790},{235,1789},{239,1785},{285,1739},{289,1735},{290,1734},{294,1730},{345,1679},{349,1675},{350,1674},{354,1670},{370,1654},{374,1650},{375,1649},{379,1645},{426,1598},{428,1596},{496,1528},{498,1526},{526,1498},{528,1496},{596,1428},{598,1426},{645,1379},{649,1375},{650,1374},{654,1370},{670,1354},{674,1350},{675,1349},{679,1345},{730,1294},{734,1290},{735,1289},{739,1285},{785,1239},{789,1235},{790,1234},{794,1230},{946,1078},{948,1076},{976,1048},{978,1046}}

王守恩

一個三位數與一個四位數之和是2024。如果7 個數字並無重複，合共有組合多少個？

千位=1。根据个位分6种情况。
个位=04: 27(百位)+39(十位)=8
个位=04: 36(百位)+57(十位)=8
个位=59: 27(百位)+38(十位)=8
个位=59: 36(百位)+47(十位)=8
个位=68: 45(百位)+29(十位)=8
个位=68: 90(百位)+47(十位)=4
合计:  8+8+8+8+8+4=44