P 在 ΔABC 内，∠BAC=90°，AP=1，BP=2，CP=3，求 BC 的最大值和 ΔABC 面积的最大值

H2L

请教一下这个题目谢谢

波斯猫猫

题：P 在 ΔABC 内，∠BAC=90°，AP=1，BP=2，CP=3，求 BC 的最大值和 ΔABC 面积的最大值。

思路：如图，有（a-cosθ）^2+（sinθ）^2=9，（b-sinθ）^2+（cosθ）^2=4，

则a^2+b^2-2(acosθ+bsinθ)=11，即a^2+b^2-2√(a^2+b^2)sinα=11，

[√(a^2+b^2)-sinα]^2=11+(sinα)^2，√(a^2+b^2)=√[11+(sinα)^2]+sinα≤1+2√3。

故，BC≤1+2√3。

又由（a-cosθ）^2+（sinθ）^2=9，（b-sinθ）^2+（cosθ）^2=4，

有(a^2-8)/a=2cosθ，(b^2-3)/b=2sinθ，即[(a^2-8)/a]^2+[(b^2-3)/b]^2=4。

令S△ABC=ab/2=t，则b=2t/a，代入上式整理得，(4t^2+9)a^4-104t^2a^2+16t^2(t^2+16)=0。

由于关于a^2的二次方程的判别式非负，故(104t^2)^2-64t^2(t^2+16)(4t^2+9)≥0。

解得，t≤3+√3。

luyuanhong

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H2L

波斯猫猫 发表于 2024-2-14 20:24
题：P 在 ΔABC 内，∠BAC=90°，AP=1，BP=2，CP=3，求 BC 的最大值和 ΔABC 面积的最大值。

思路：如 ...

感谢！

tmduser

求BC长度可以用几何解法，不过还是代数解法比较通用，如附图所示。

H2L

tmduser 发表于 2024-2-16 19:52
求BC长度可以用几何解法，不过还是代数解法比较通用，如附图所示。

感谢老师！

ataorj

如图,G为BC中点,BC尽量靠近P且保障A在小圆上时才有最大值,这要求A、P、G共线,
则有7元方程组:
bb+cc=1
AB=√(4-cc)+√(1-cc)
AC=√(9-bb)+√(1-bb)
BC=√(4-aa)+√(9-aa)
BC^2=AB^2+AC^2
1+d=√(4-aa)+√(dd-aa)
2(1+d)=BC


Solve[{b*b+c*c==1,
AB==(4-c*c)^(1/2)+(1-c*c)^(1/2),
AC==(9-b*b)^(1/2)+(1-b*b)^(1/2),
BC==(4-a*a)^(1/2)+(9-a*a)^(1/2),
BC^2==AB^2+AC^2,
1+d==(4-a*a)^(1/2)+(d*d-a*a)^(1/2),
2(1+d)==BC},{AB,AC,BC,a,b,c,d}]

可得BC=1+2√3

ataorj

求ABC最大面积,是要求AB*AC有最大值.前面7元方程组舍去最后两个方程后,求AB、AC,消去BC、a、b:

Solve[{b*b+c*c==1,
AB==(4-c*c)^(1/2)+(1-c*c)^(1/2),
AC==(9-b*b)^(1/2)+(1-b*b)^(1/2),
BC==(4-a*a)^(1/2)+(9-a*a)^(1/2),
BC^2==AB^2+AC^2},{AB,AC},{BC,a,b}]

可得AC=c+√(8+cc)
0.5*AB*AC=0.5[c+√(8+cc)][√(4-cc)+√(1-cc)]
c的取值范围为(0,1),然后如何快速求上式的最大值就超过我的知识范围了.