在 ΔABC 中，AB⊥BC，AB=BC=2，D 是 AB 中点，E∈AC，F∈BC，ED⊥DF，求 EF 的最小值

chenjiahao

tmduser

仅理论可解。
设 BF = x，利用相似及角平分线性质容易得到：
EF^2 = (x^2+1)/(1+x)^2 + x^2 + 1
可利用导数计算极值(解4次方程)，但由于精确结果形式过于复杂已经失去求解的意义。
利用Mathematica得到的数值解为：EFmin = 1.317122355716877620...

王守恩

\(记∠BDF=D,EF^2=DF^2+DE^2=\big(\frac{\sin(\pi/2)}{\cos(D)}\big)^2 + \big(\frac{\sin(\pi/4)}{\sin(\pi/4 + D)}\big)^2\)

1. NMinimize[{Sqrt[(Sin[Pi/2]/Cos[D])^2+(Sin[Pi/4]/Sin[Pi/4+D])^2],1>D>0},{D}]

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{1.3171223557168776202, {D -> 0.29930161383583178905}}

波斯猫猫

即求y=1/(1+sin2x)+2/(1+cos2x)最小值的算术平方根(x为锐角)。看似简单，实难手工完成。

王守恩

波斯猫猫 发表于 2024-2-17 21:18
即求y=1/(1+sin2x)+2/(1+cos2x)最小值的算术平方根(x为锐角)。看似简单，实难手工完成。

1. NMinimize[{Sqrt[(1/(1+Sin[2x])+2/(1+Cos[2x]))],1>x>0},{x}]

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{1.3171223557168776202, {x -> 0.29930161383583178905}}