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刘谦春晚魔术中全网未讨论的数学问题

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发表于 2024-2-20 19:41 | 显示全部楼层 |阅读模式
刘谦春晚魔术中全网未讨论的数学问题

来源 | 和乐数学

撰文 | 南山莲子

刘谦在今年春晚的第一个魔术表演中隐含着数学问题,但鲜见科普文章提及。实际上,这里的问题或许更受数学家们关注。

刘谦在春晚表演的第二个“魔术”,其实就是数学原理的应用。相关的解释已有不少。

这类利用数学原理进行表演的扑克游戏有不少。如袁亚湘院士就曾在央视表演过一些数学扑克魔术。

看刘谦春晚魔术不过瘾?院士给您讲解数学魔术

刘谦在今年春晚的第一个魔术表演中也有数学现象。但鲜见有普及文章提及。实际上,其中的数学问题或许更受数学家们关注。



让我们回顾下。

刘谦在第一个魔术表演开始时夸张地说,

这位先生和这位小姐,从三天前就开始洗牌,洗到现在还停不下来。让我来反问下,您打算洗到什么时候?满意了吗?

随后刘谦表演了短时间内洗出四条龙(假设一副扑克牌有 52 张),而且最后一条龙还暗合现场时刻。

一副 52 张扑克牌的扑克有 52! 种排法。所以得到四条龙的特定排法的概率为 1/52! 。

这是一个极其微小的概率。数学家李特伍尔德曾如此定义奇迹:“奇迹就是发生的概率小于一百万分之的概率的事件。”在这个意义上,春晚观众确实如刘谦所说,见证了奇迹。

虽然搞笑,但不妨启发人们思考如下重要问题:

如何洗牌?洗多久能洗好?哪种洗牌方法需要时间最少?

完美洗牌

有赌博必然有洗牌。因而也产生了很多洗牌的方法。

下面仅考虑一种所谓的完美洗牌。这是一种交错洗牌法。又分为内洗法和外洗法。



首先,将一副牌分成相等的两摞。

外洗法使牌交替放置成如下顺序:第一摞的第一张牌、第二摞的第一张牌、第一摞的第二张牌、第二摞的第二张牌,……。

内洗法:先交换两摞牌的位置,再按外洗法的方法排列牌。

示例如下:

假设你的牌组有12张牌,由上到下如下排列:

A,2,3,4,5,6,7,8,9,J,Q

从中间将其分成两摞:

第一摞是

A,2,3,4,5,6 ;

第二摞是

7,8,9,J,Q  。

所谓外洗法就是把牌按如下顺序排列牌:

A,7,2,8,3,9,4,10,5,J,6,Q 。

内洗法是先把这两摞牌交换,其后再按外洗法的方式交错洗牌,得牌序如下:

7,A,8,2,9,3,10,4,J,5,Q,6 。

洗牌群

将一副扑克牌的 52 张牌分别标记为 0,1,2,3,…,51 。

这种标记方法是不记录牌的点数和花色,相当于仅仅记录各张牌的位置,只不过将最上面的牌标号为 0 ,这是为了后面的数学处理(模运算)方便。

一次洗牌就是这 52 个数字的排列。前面已经介绍,总的排列数为 52! 。全体排列组成一个排列群。

如果仅考虑一副只有 6 张牌 0,1,2,3,4,5 的牌组。

6 张牌共有 6! = 6×5×4×3×2×1 = 720  种排列方法。

但我们可以只考虑由外洗、内洗所能得到的牌的排列方式。

先只考虑外洗法。可以得到的排列如下:

1. 分成两摞:

    0,1,2 ;

    3,4,5 。

外洗可得:

    0,3,1,4,2,5 。

2. 再分成两摞,可得

    0,3,1 ;

    4,2,5 。

外洗可得:

    0,4,3,2,1,5 。

3. 再分成两摞,可得

    0,4,3 ;

    2,1,5 。

外洗可得:

    0,2,4,1,3,5 。

4. 再分成两摞,可得

    0,2,4 ;

    1,3,5 。

外洗可得:

    0,1,2,3,4,5 。

由此可见,经过 4 次外洗,可以回到原先的顺序。

还可知道,由外洗可得 4 个排列:

    0,1,2,3,4,5 。

    0,3,1,4,2,5 。

    0,4,3,2,1,5 。

    0,2,4,1,3,5 。

类似地,也可以考虑内洗,经过有限次内洗,也可以回到原先的顺序。

还可以考虑全体内洗、外洗所得的排列,如此得到的排列的全体,被称为完美洗牌群。

完美洗牌群是全体排列组成的一个群的子群。

一个最简单情况是两张牌的情形。设有 0,1 两张票。全体排列如下:

   (0,1)(1,0)

设原始顺序为(0,1),则外洗只能得到它自己。如果考虑内洗,则所得完美洗牌群就是全体排列组成的群。

考虑完美洗牌群的大小是一个有趣的问题。

如果只有 6 张牌,总共有 6! = 720 种排法。但完美洗牌群只有 24 种排法。

类似地,若一共有 10 张牌,则洗牌群共有 1920 种排列。若一共有 14 张牌,则洗牌群共有 320,000 种排列。若一共有 26 张牌,则洗牌群共有超过 25 万亿种排列。

上述例子暗示,如果增加牌的张数,则洗牌群的数目按指数增加。

然而,如果牌的张数是 2 的指数次,则洗牌群的数目按指数减少。例如,若牌的张数为 2^4 = 16 张,则洗牌群的大小为 64 。若牌的张数为 2^5 = 32 张,则洗牌群的大小为 16 。

洗多少次

从前面一副牌是 6 张牌的例子可以看出,若只用外洗法,则只要 4 次就可以复原。

那么,对一副 52 张牌的扑克牌,用外洗法,多少次后就复原了?

设 52 张牌排列如下:

    0,1,2,3,…,49,50,51 。

分成两堆,上面那堆为

    0,1,…,25 。

下面那堆为

    26,27,…,51 。

交错洗牌得

    0,26,1,27,2,…,24,50,25,51 。

可见,第一堆中原来位置在 x(26≤x≤51)处的牌被放到新堆的处。例如,2 在第一次外洗后,被放到 4 位置。类似地,位置在 x(26≤x≤51)处的元素在新的堆中排在 2x-51 位置处。

利用模算法,一次外洗将 x 换到 2x(mod 51)处;

两次外洗将 x 换到;2^2 x(mod 51)处,等等。

从而,若 k 次外洗可以将 x 换到 x 处,则应有

    2^k x ≡ x(mod 51)。

求解上述方程,可知

       k = 8 。

这是因为我们有下表



也就是说,外洗 8 次相当于什么也没做。

洗牌还有很多数学问题,上面仅仅简单介绍了一点基础。有兴趣的网友可以进一步阅读相关资料。

本文转载自微信公众号“和乐数学”。

返朴 2024-02-14 09:36 湖南

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