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探讨:x^3+y^4=z^5有多少组正整数解

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发表于 2024-2-23 08:01 | 显示全部楼层 |阅读模式
(一)
用x^24+y^24=z^25,
得:
X=2^8,
y=2^6,
z=2^5,
初始解一组。
 楼主| 发表于 2024-2-23 08:07 | 显示全部楼层
(二)
用方程:
X^36+y^36=z^35,
知:
x=2^408,
Y=2^306,
Z=2^245.
初始解一组
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 楼主| 发表于 2024-2-23 08:11 | 显示全部楼层
(三)
由x^15+y^16=z^15.
的钱:
X=(2^15-1)^5,
有=(2^15-1)^4,
Z=[2(2^15/1)]^3.
初始解一组。
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 楼主| 发表于 2024-2-23 08:16 | 显示全部楼层
(四)由x^21+y^20=z^20
得:
x=(2^20-1)^7,
Y=(2^20-1)^5,
Z=[2(2^20-1)]^4.
初始解一组,
(待续)
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 楼主| 发表于 2024-2-23 08:49 | 显示全部楼层
本帖最后由 lusishun 于 2024-2-23 00:55 编辑

    (五)

X^45+y^44=z^45.
得:
X=(2^1935-1)^645,
Y=(2^1935-1)^484,
Z=[2(2^1935-1)]^387.
初始解一组

(注:1935=45·43),
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 楼主| 发表于 2024-2-23 08:54 | 显示全部楼层
本帖最后由 lusishun 于 2024-2-23 00:57 编辑

(六)
由x^39+y^40=z^40,
得:
X=(2^1520-1)^13,
Y=(2^1520-1)^10,
Z=[2(2^1520-1)]^8.
初始解一组


(注:1520=40·38)
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 楼主| 发表于 2024-2-24 13:48 | 显示全部楼层
基本公式,暂且没有写进去
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 楼主| 发表于 2024-2-24 16:24 | 显示全部楼层
本帖最后由 lusishun 于 2024-2-24 08:44 编辑

也解:
X^11+y^13=c*17
试一试,
由11·13k+1=17m,得,
最小的k,m分别是:k=12,m=106,
得:

(2^156)^11+(2^132)^13=(2^101)^17
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 楼主| 发表于 2024-3-2 19:05 | 显示全部楼层
lusishun 发表于 2024-2-24 05:48
基本公式,暂且没有写进去

公式法的由来,已经在计算数学专栏里,公布。
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 楼主| 发表于 2024-3-2 19:24 | 显示全部楼层
x^10+y^11=z^10

原始解法:
假设x=y  
左边=x^10·(1+x),
再假设,x=b-1
有,左=(b-1)^10·b
令  b=a^10 ,
左边=a^10·(a^10-1)^10
         =[a(a^10-)]^10.
易知:x=y=a^10-1,
            Z=a(a^10-1).
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