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梅涅劳斯定理,塞瓦定理的客串(1)---鸿渐于陆

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发表于 2024-3-25 18:57 | 显示全部楼层 |阅读模式
梅涅劳斯定理,塞瓦定理的客串(1)---鸿渐于陆

原创 lch 茄总笑谈人生几何 2024-02-27 14:06 上海

第一期,我们介绍了梅涅劳斯定理,塞瓦定理的内容,以及在牛顿定理中的客串。经过茄总的冷静考量,我们这一期看一场实打实的客串的戏,欣赏一下戏的多种演法。

言多必失,上戏:



首先,看到角平分线和垂直,我们马上想到对称。所以这个剧本中,我们会首先设计找到 BG,AC 的交点。



这样我们就得到了一个对称图形。

要证明平行,我们可以证明角等,边比例相等,或者斜率相等。看到对称加垂直,而且线段数量少,关系也并不复杂,茄总一开始就进行了建系,进行了一番暴力操作。但其实过程也很简短。我们来看一波:



当然,看到了两个中点,我们也会习惯性的把中位线连出来。



然后,我们思考一下另外两个证明平行的思路:

首先,用证明角相等的去设计剧本的思路我们可以放一放了。因为 ∠AFD 和 ∠BDF 没有办法导出去。如果通过正余弦定理证明三角函数值相等,那么等价于证边的关系。

所以说,要想用另一种方式设一个全新的剧本,我们就只能让边去担任这场戏的主演!!!

首先,我们先来看一看梅涅劳斯定理的客串:



这个剧本的设计巧妙地利用了平行和中点的性质,十分简洁精妙!!!

然后,我们看一个没有客串,直接利用平行导比例的方法:



这个剧本的设计十分的巧妙,通过构造平行四边形来补充平行关系和条件,再通过平行去导比例,进而证明最终的平行。

回过头来看一看,GE 延伸到 P ,会经过 AB 中点。这个中点肯定会有它的存在意义。接下来,我们来通过你这个中点,看一下塞瓦定理的客串:



这样的话,巧妙构造中点,十分直接地解决了问题!!!

感谢收看!!!下期预告---梅涅劳斯定理,塞瓦定理的运用(2)

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