|
你也能懂的质能方程 E=mc^2
来源:长尾科技
作者:长尾君
提到爱因斯坦,很多人的第一反应就是 E=mc^2 。
没办法,质能方程看起来“太简单”了:左边的 E 代表能量,右边的 m 代表质量,c 是光速,都是中学生就能看懂的物理量。而且,这个方程看起来太神奇了,它告诉我们一般物体都蕴含了巨大的能量,原子弹那毁天灭地的力量就是最好的证明。
又简单又神奇,不传播你传播谁?
但是,很多人容易忘记一件事:质能方程是狭义相对论的结论,需要站在狭义相对论的立场上才能精准地把握它。否则就容易望文生义,再类比、推广一下,后果就很可怕了。
比如,有人认为质能方程的意思是“质量可以转化成能量”,或者说“物质可以转化成能量”。延伸一下,物质代表“有”,能量代表“无”,质能方程暗示着“有无相生”,接下来欢迎进入太极物理频道……
也有人认为质能方程是在说“质量是能量的一种形式”。延伸一下,我们的物质本质上都是能量,一切都是能量,一切都是虚无,色即是空,接下来欢迎进入相对论佛学频道……
这种误解以及可怕的延伸,我还可以列很多。要不是建了那么多社群,见识了各种各样的人,我真难以想象质能方程会有如此丰富的“内涵和外延”。
不过,想想也不奇怪。毕竟谁都可以谈一下质能方程,谈的人多了,想法自然就多了。而且,质量亏损这个名字也很容易把大家往歪路上引。
那么,我们就来好好看一看质能方程,看看 E=mc^2 到底是怎么回事,看看它是如何从狭义相对论推导出来的,以及如何正确地对待质能方程。
01 从狭义相对论出发
因为质能方程是狭义相对论的产物,所以,想搞清楚质能方程就得先搞清楚狭义相对论。
什么是狭义相对论呢?
我在《相对论诞生:爱因斯坦是如何创立狭义相对论的?| 主线》里详细描述了狭义相对论的诞生过程,看完文章的朋友肯定都知道:狭义相对论的核心是洛伦兹协变性。
它跟牛顿力学的核心区别是:狭义相对论的物理定律在洛伦兹变换下保持数学形式不变,而牛顿力学的物理定律在伽利略变换下保持数学形式不变。至于尺缩、钟慢、双生子之类的效应,都是狭义相对论的一些简单结论。
质能方程 E=mc^2 也是这样。
也就是说,只要我们认为物理定律应该在洛伦兹变换下保持数学形式不变(狭义相对论精神),我们就能推出质能方程 E=mc^2 ,而不需要其它的假设和限制。
因此,只要狭义相对论成立,质能方程就成立,它的适用范围是极广的。有些朋友认为质能方程只在核反应里才有效,这显然不对,因为狭义相对论并不是只在核反应里才有效。
那狭义相对论在哪些地方成立呢?是不是像有些人认为的,狭义相对论只在高速(近光速)情况下成立,在低速情况下就必须使用牛顿力学?
不不不,也不是这样的逻辑。
狭义相对论跟牛顿力学并不是互补的关系。牛顿力学只在低速时适用没错,但狭义相对论不仅在高速时适用,在低速时也同样适用。而且,在低速时它的精度比牛顿力学还要高。
也就是说,狭义相对论不管在低速、高速时都成立,牛顿力学只是狭义相对论在低速情况下一个还算不错的近似。既然狭义相对论的适用范围那么广,质能方程的适用范围自然也很广,而不是只局限在核反应里。
但是,爱因斯坦并不需要知道核反应里质量和能量的关系,他直接从狭义相对论的基本原理出发,就无可辩驳地得到了 E=mc^2。这是最让人震惊的地方,也是理性的巨大胜利。
接下来,我们就来看一看,看看为什么只要坚持狭义相对论的基本原理,只要坚持物理定律在洛伦兹变换下保持数学形式不变(洛伦兹协变性),我们就能得到质能方程 E=mc^2 。
02 动量守恒定律
再来看看 E=mc^2 ,公式的左边出现了能量 E ,看到能量我们就会想起能量守恒定律。既然是定律,那我们就要问了:你可不可以在洛伦兹变换下保持数学形式不变啊?如果可以,那就欢迎进入狭义相对论的世界;如果不行,那就从哪来回哪去,一边玩去。
不过,考虑到能量的种类太多太杂,我们先来看看更简单的动量守恒定律。
在牛顿力学里,动量的定义是 mv(质量乘以速度),在不受外力或合外力为 0 时,两物体碰撞时动量守恒。
比如,两个质量都为 m 的小球以相等的速度 v 迎面撞上,碰撞后两个小球黏在了一起。如果以某个小球的运动方向为正(假设为向右),那这个小球的动量就是 mv ,另一个小球的动量就是 -mv ,碰撞前动量之和就是 mv+(-mv)=0 。
根据动量守恒定律,碰撞后小球的总动量也应该为 0 。而碰撞后它们又黏在了一起,变成了一个质量为 2m 的大球,所以碰撞后的速度就必然为 0(不然总动量就不为 0 了)。
两个质量相等、速度相反的小球迎面相撞,碰撞后两个小球黏在一起并保持静止。这个事情很容易理解,不管是用牛顿力学的动量守恒定律来计算,还是根据常识来判断都没错。
但是,我们关注的并不是碰撞本身,而是:动量守恒定律是定律么?
这个问题好像很奇怪,动量守恒定律当然是定律了,不然这名字是瞎叫的么?
但是,我希望来到这里的读者,对定律要有更深层的理解。前面说了,狭义相对论和牛顿力学的核心区别,就是前者的物理定律在洛伦兹变换下保持数学形式不变,后者的物理定律在伽利略变换下保持数学形式不变。
那么,当你把动量定义为 mv ,当你在说动量守恒定律的时候,这个定律是在洛伦兹变换下保持数学形式不变呢,还是在伽利略变换下保持数学形式不变?如果是前者,那这条动量守恒定律就是狭义相对论下的定律;如果是后者,它就是牛顿力学下的定律。
当然,我们很清楚,把动量定义为 mv 是牛顿力学里的做法。所以,这样的动量守恒定律必然是牛顿力学下的定律,它必然能在伽利略变换下保持数学形式不变。
下面我们来简单地验证一下。
03 伽利略变换
要验证动量守恒定律是否可以在伽利略变换下保持数学形式不变,我们就要先搞清楚什么是伽利略变换?搞清楚当我们在说一个定律在伽利略变换下保持数学形式不变时,我们到底在说什么?
其实,伽利略变换也好,洛伦兹变换也罢,都是联系两个参考系的东西。变换嘛,就是把一个参考系的物理量变到另一个参考系里去。
比如,我在 300km/h 的高铁上,觉得前面的椅子速度为 0 ,列车员正以 5km/h 的速度往车头走,这是高铁系的测量结果。
那么,如果我站在地面,地面系测量椅子和列车员的速度又会是多少呢?有同学立马会说:“我知道,从地面上看,高铁上椅子的速度是 300km/h ,列车员的速度是 300+5=305km/h 。”
如果我问他这样算的依据是什么,他会觉得这还要什么依据,这不是天经地义的事情么?当然要有依据,物理学是一门非常严密的科学,做什么都要有理有据。
我们现在讨论的是同一个东西(椅子、列车员)在不同参考系里的速度,这就涉及两个参考系之间的变换,是一件很严肃的事情。如何把这两个参考系里的物理量联系起来?答案就是前面说的伽利略变换、洛伦兹变换。
在牛顿力学里,我们用伽利略变换联系两个惯性系,那伽利略变换到底长啥样呢?
假设我们在地面系 S 建立了一个坐标系(x,y,z,t),现在有一辆火车以速度 v 沿 x 轴正方向匀速运动。我们在火车系 S' 里也建一个坐标系(x',y',z',t'),为了简化问题,我们让这两个坐标系一开始是重合的。
坐标系建好后,空间中发生了任何事件,地面系和火车系都会记录下这个事件的时空信息(x,y,z 记录空间信息,t 记录时间信息)。我们想知道的就是:地面系和火车系记录的时空信息之间有什么联系?
不同的变换会给出不同的答案,伽利略变换的答案是:
我们知道,牛顿力学里的时间是绝对的,所有参考系的时间都一样,所以伽利略变换里有 t'=t 。因为 t' 代表火车系的时间,t 代表地面系的时间,t'=t 不就是说大家的时间都相等,时间是绝对的么?
再看空间,因为火车只沿 x 轴正方向移动,所以火车系和地面系在 y 轴和 z 轴的坐标都一样,x 坐标的关系 x'=x-vt 也不难理解,琢磨一下就明白了。
有了坐标和时间的关系,我们很容易就能求出火车系的速度 u' 和地面系的速度u之间的关系:u'=u-v 。这个就不推了,不清楚的可以看看《相对论前夜:牛顿和麦克斯韦的战争》,里面有更加详细的推导。
伽利略变换的速度关系是 u'=u-v ,这就意味着:火车系测量的速度等于地面系测量的速度减去火车相对地面的速度。
比如,在速度 v=300km/h 的高铁上,如果高铁系测量列车员的速度 u'=5km/h ,地面系测量列车员的速度 u 就应该满足:5=u-300 ,u 确实等于 5+300=305km/h ,跟我们的直觉一样。
但是,我们要清楚地认识到:这些推理都是建立在伽利略变换的基础上的。
因为我们采用了伽利略变换,所以两个惯性系之间的速度才可以这样叠加。火车系测量的速度是 5km/h ,地面系的结果是 300+5=305km/h ,这不是什么天经地义的事情,而是伽利略变换的结果。
04 牛顿力学的定律
有了这个认识,我们再思考一下:当我们说动量守恒定律是牛顿力学里的定律时,我们到底在说什么?
在牛顿力学里,动量的定义是质量乘以速度,也就是 mv 。我想看动量守恒定律是不是定律,就是要看在一个惯性系(比如火车系)里成立的动量守恒定律,用伽利略变换把它变到另一个参考系以后,它是否依然成立。
因为质量是一个不变量,不管在哪里都不变。所以,不同惯性系之间动量的差别就体现在速度 v 上了。
还是以小球的碰撞为例,假设两个质量都为 m 的小球以速度 v 迎面相撞,碰撞后两个小球黏在一起并保持静止。取向右的方向为正,从地面系看,碰撞前两个小球的动量分别为 mv 和 -mv ,碰撞前总动量为 0 。碰撞后,两个小球黏在一起并保持静止,所以碰撞后的动量 2m×0=0 ,也是 0 。
因为碰撞前的总动量等于碰撞后的总动量(都是 0),所以,地面系确实认为存在动量守恒定律。
但是,我们看动量守恒定律是不是牛顿力学下的定律,并不是只看这个定律在地面系是否成立,还要看用伽利略变换把它变到另一个惯性系之后,它是否依然成立。
因此,我们要换一个参考系,看看新参考系里的碰撞过程是否依然满足动量守恒定律。为了计算方便,我们就把新参考系选在从左往右运动的小球身上,也就是站在速度为 v 的小球上再来看这个问题。
在地面系,两个小球碰撞前的速度分别为 v 和 -v ,碰撞后两个小球黏在一起,速度为 0 。那么,在新参考系里,碰撞前后小球的速度又分别是多少呢?
在牛顿力学里,我们使用伽利略变换的速度叠加公式 u'=u-v 联系两个惯性系之间的速度。也就是说,在原参考系里速度为 u 的物体,在新参考系里速度就是 u'=u-v 。
因此,对于碰撞前速度为 v 的小球,在新参考里速度为 v-v=0 ;碰撞前速度为 -v 的小球,在新参考系里速度为 -v-v=-2v ;碰撞后速度为 0 的小球,在新参考系里的速度为 0-v=-v 。
也就是说,同样的碰撞,新参考系看到的是:两个质量为 m 的小球,一个速度为 0(以它为参考系,速度当然为 0),一个速度为 -2v(对面的小球),它们碰撞之后黏在一起,变成了质量为 2m ,速度为 -v 的大球。
那么,在新参考系里动量守恒定律还成立么?我们再来验算一下:碰撞前两个小球的动量分别为 m×0=0 和 m×(-2v)=-2mv ,碰撞后黏在一起的大球的动量为 2m×(-v)=-2mv 。
看到没有,新参考系里碰撞前后的动量都是 -2mv ,依然相等。所以,在新参考系里动量守恒定律依然成立。
当然,这里我们只验证了一个新参考系。但是,你完全可以根据伽利略变换的速度叠加公式,证明只要把动量定义为 mv ,动量守恒定律在一般情况下都成立。
这样,我们才敢理直气壮地说:如果把动量定义为 mv ,动量守恒定律的确是牛顿力学里的定律。因为你用伽利略变换把动量守恒定律变到任何惯性系,它都成立。
那么,到了狭义相对论里呢?
05 洛伦兹变换
在狭义相对论里,联系两个惯性系的不再是伽利略变换,而是全新的洛伦兹变换:
变换的细节我们先不细究,不过你可以看到:在洛伦兹变换里,火车系的时间 t' 和地面系的时间 t 不再一样(t'≠t),它们之间有个巨复杂的关系。
也就是说,在狭义相对论里,时间不再是绝对的,不同惯性系的时间并不一样,每个惯性系都有自己的时间。
再看看火车系和地面系的 x 坐标之间的关系,也是一个非常复杂的式子。所以,不难想象,从洛伦兹变换推出的速度叠加公式肯定就没有伽利略变换的那么简单。
中间的推导过程我就省了,洛伦兹变换下的速度叠加公式是这样的:
怎么样,比伽利略变换下的 u'=u-v 复杂多了吧?
但是,仔细观察一下就会发现,如果 v 远小于光速 c ,分母的 v/c^2 就约等于 0 ,分母就变成了 1 ,于是这个速度叠加公式就回到了伽利略变换下的 u'=u-v 。因为牛顿力学是狭义相对论的低速近似,所以伽利略变换自然也是洛伦兹变换的低速近似。
在牛顿力学里,我们使用伽利略变换导出的速度叠加公式,所以可以用 300+5=305km/h 表示地面系测量的列车员速度。但是,我们在狭义相对论里使用的是洛伦兹变换导出的新速度叠加公式,那结果肯定就不再是 305km/h 了。
也就是说,如果火车系测量列车员的速度为 5km/h ,我问地面系的结果是多少?牛顿力学给出的结果是 305km/h ,这是用伽利略变换算出来的;狭义相对论认为这个结果不等于 305km/h(当然也极为接近这个数字),因为它是用洛伦兹变换算出来的。
如果你问谁算得更准确,那当然是狭义相对论的结果更准确,但牛顿力学的结果也跟它极为接近。因为火车的速度 v 和列车员的速度 u 都太小了(相对光速 c),所以洛伦兹变换的速度叠加公式的分母 1-vu/c^2 基本上等于 1 ,于是基本上就等于伽利略变换的结果。
但是,如果火车的速度接近光速,分母 1-vu/c^2 就会远小于 1 ,那得到的结果就跟伽利略变换完全不一样了,所以牛顿力学就不能用了。
通过这个例子,相信大家对伽利略变换和洛伦兹变换都有了一定的了解,也明白不同变换下的速度叠加公式是不一样的。具体的计算过程可以不用搞得太清楚(亲自推一遍当然更好),但道理一定要明白。
06 狭义相对论的定律
知道了洛伦兹变换,我们再来看这个问题:在狭义相对论里,动量守恒定律还是定律吗?
当我们在说这句话的时候,我们的意思是:如果把动量仍然定义为 mv ,那动量守恒定律在洛伦兹变换下还能保持数学形式不变么?如果动量守恒定律在一个惯性系里成立,我用洛伦兹变换把它变到另一个惯性系以后,它还成立吗?
具体的计算我就不做了,稍微想一下就知道答案肯定是否定的。
因为我们已经证明了:如果把动量定义为 mv ,动量守恒定律在伽利略变换下是可以保持数学形式不变的,这样动量守恒定律才步入了牛顿力学的殿堂。
然而,现在动量的定义(mv)没变,联系两个惯性系之间的变换却从伽利略变换变成了洛伦兹变换。既然伽利略变换能让动量守恒定律保持数学形式不变,那换了变换以后肯定就不一样了啊。
也就是说,如果我们依然把动量定义为 mv ,在洛伦兹变换下,新参考系的动量守恒定律必然不再成立。
要验算也很简单,洛伦兹变换下的速度叠加公式是这样的:
还是刚才的小球碰撞问题,我们可以用同样的方法把新旧惯性系碰撞前后的速度都算出来,再看看动量是否相等。
谁算谁知道,答案必然不相等。
于是,我们就面临一个非常棘手的问题:如果我们在狭义相对论里依然把动量定义为 mv ,那么,经过洛伦兹变换以后,新参考系里的动量守恒定律就不再成立。如果动量守恒定律无法在洛伦兹变换下保持数学形式不变,那它就没有资格成为狭义相对论里的定律。
也就是说,如果我们继续沿用牛顿力学的动量定义(mv),那狭义相对论里动量守恒定律就不再成立。
怎么办?
解决方案也很明显:要么,我们放弃动量守恒定律,认为狭义相对论里动量守恒定律不再成立;要么,我们修改一下动量的定义,让新定义下的动量守恒定律在洛伦兹变换下依然可以保持数学形式不变,从而保住它在狭义相对论里的定律地位。
很显然,闭着眼睛我们都知道要选后者。
动量守恒定律这么重要的东西,你说放弃就放弃了?为了坚持动量的定义(mv)而放弃动量守恒定律,这种行为太愚蠢了。如果动量守恒定律不再成立,我要动量有何用?
|
本帖子中包含更多资源
您需要 登录 才可以下载或查看,没有帐号?注册
x
|