{a(n)} 满足 a(n+1)^2-a(n+1)=2√[1+a(1)^3+a(2)^3+…+a(n)^3]，a(1)=2，求通项公式

H2L · 发表于 2024-5-15 00:47

a1=2

求通项公式有无数学归纳法以外的方法

lihp2020 · 发表于 2024-5-15 11:01

这个公式怎么求a1？？

H2L · 发表于 2024-5-15 22:39

lihp2020 发表于 2024-5-15 11:01
这个公式怎么求a1？？

a1=2 忘记给了

Treenewbee · 发表于 2024-5-16 06:01

显然

$a_{n+1}^2-a_{n+1} >=0$

令n=0,可得：

$a_{1}^2-a_{1} =2，a_1=2$

两边平方

$(a_{n+1}^2-a_{n+1})^2=4(1+a_1^3+a_2^3+...+a_n^3)$

两边平方

$(a_{n}^2-a_{n})^2=4(1+a_1^3+a_2^3+...+a_{n-1}^3)$

两式相减得

$(a_{n+1}^2-a_{n+1})^2-(a_{n}^2-a_{n})^2=4a_{n}^3$
即

$(a_{n+1}^2-a_{n+1})^2=(a_{n}^2+a_{n})^2$

$(a_{n+1}^2-a_{n+1})=(a_{n}^2+a_{n})$

$(a_{n+1}+a_{n})(a_{n+1}-a_{n}-1)=0$

$a_{n+1}=a_{n}+1$

$a_n=n+1$

luyuanhong · 发表于 2024-5-16 08:40

楼上 Treenewbee 的解答已收藏。

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