进入高维空间

luyuanhong

进入高维空间

原创 蔡驰南 蔡爸谈数学 2024-06-02 12:38 浙江

公元 1453 年 5 月，君士坦丁堡被十万奥斯曼军队团团围住。为了解除围困，国王让人请来了一位叫狄奥伦娜的女魔法师。她可以不破坏墙体，从圣索菲亚大教堂封闭的密室中取出圣杯；也能隔空摘取敌方将领的大脑，杀人于无形。

这场史诗般战役的胜负，竟系于一人，只是在最后一刻她的“魔法”消失了。君士坦丁堡最终被攻陷，东罗马帝国灭亡，欧洲中世纪宣告结束。

狄奥伦娜成为有记载以来第一个进入高维空间的人。



这是科幻小说《三体》中的故事，这场战役在历史上真实存在，只是狄奥伦娜的故事是虚构出来的。但人类对高维空间的探索与想象，一直未曾停歇。

今天我们就来想象一下，一个四维的超立方体应该是怎样的？

虽然我们无法想象四维空间，但可以在低维往高维变化的规律中，找到一些类比，来画出四维超立方体。



0 维是点；

1 维是线段，由 2 个 0 维的点组成；

2 维是正方形，由 4 条 1 维的线段组成；

3 维是立方体，由 6 个 2 维的正方形组成；

注意从零维空间到三维空间，数字变化的规律。

那么四维超立方体，应该由 8 个 3 维的立方体组成。

我们还能找到它的顶点数、边数和面数。

它投影到我们的 3 维空间就是这个模样。



注意这里所有的边都是相等的，之所以我们看到它们不相同，是因为从高维投影到低维空间的缘故。

就像一个立方体投影到平面画纸上，也会因为透视效果而产生不等长的边。

那么这个四维超立方体一共包含了几个三维的立方体呢？

最中心的 1 个，以及和这个正方体每个面都连接的 6 个，还有最外面的 1 个，一共是 8 个。

而所有这些立方体，在四维空间中都是相等的，这需要一点想象力。

从高维空间落入低维空间，是可以“凭空”出现的。

就像你的手指按在桌面上，抬起，再换个地方落下。一只生活在二维桌面上的虫子，看到的就是前方出现一个手指，然后凭空消失，又在远处突然再出现一样。

这也就是视频开始时狄奥伦娜的魔法，她只是通过四维空间，可以穿梭到任意的三维空间中去。

人类视觉与触觉的局限，并不能限制数学家们的想象力。在数学上，人们不但能想象出四维超立方体的样子，甚至还能进入到无穷维度，也就是希尔伯特空间，目前它被广泛应用于量子理论等领域。



四维超立方体是《极简几何史》中的一个例子，该书以可视化、形象化的表达，展现了看待世界的各种方式。它还是文津图书奖科普类推荐图书，能带你领略神奇有趣的几何世界。



蔡爸谈数学

mathmatical

多维空间与曲率飞船有关系吧