为什么概率为 1 的随机事件不一定是必然事件，概率为 0 的随机事件不一定是不可能事件

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为什么概率为 1 的随机事件不一定是必然事件，概率为 0 的随机事件不一定是不可能事件？（几何概型的介绍）

原创 童话学愿 童话学愿 2024-06-04 20:10 北京

    书接上文，上期文章《关于随机事件概率的概念理解（初中）》介绍了概率定义的由来，概率的符号表示，并利用必然事件概率为 1 和不可能事件概率为 0 说明了为什么概率在 [0，1] 区间取值，



    最后特别指出：P(A) = 0 ≠> A 不可能发生，P(A) = 1 ≠> A 必然发生。

    这意味着，对于随机事件 A 来说，即使其概率 P(A) = 0 ，随机事件 A 也有可能发生；同样若其概率 P(A) = 1 ，随机事件 A 也不一定发生。

    所以，P(A) = 0 不等于不可能发生，而是发生的可能性很小很小；P(A) = 1 也不等于必然发生，而是发生可能性很大很大。

    这有些难以理解，要证明 A ＝> B 为真，需要我们证明 B 的每一个实例都满足结论，但若要证明 A ＝> B 为假，只需我们举出一个反例即可，所以我们要证明：“P(A) = 0 ≠> A 不可能发生”和“P(A) = 1 ≠> A 必然发生”只需举出一个例子即可。

    在这之前我们先来介绍一种特殊的概率模型——几何概型

一、几何概率模型

1、定义

    若随机试验满足以下条件：

        ① 可能的结果（基本事件）有无限个——无限性

        ② 每个基本事件发生可能性相等——等可能性

    称这种随机试验为几何概率模型。

    提示：判断随机试验中出现某一个结果，称为一个基本事件，具体详情请点击查看往期文章《与随机事件相关的几个概念的辨析（二）（基本事件、必然事件、不可能事件）（初中）》

2、示例：

    1）在数轴上 0≤x≤100 的区域内任意取一点



    2）自由转动圆盘，圆盘停止后，圆盘中心的指针等概率的指向圆周上的任意一点



    3）随意的向沙坑中扔石头，石头等概率的落在沙坑中的任意位置


（此图来自网络）

二、几何概型的概率

1、几何概型随机事件的概率

1）类比推导概率公式

    几何概型与古典概型（简单随机试验，结果有限且等可能）一样，每个基本事件的概率都是相等的，所以类比古典概型的概率计算公式，有：



    但是几何概型的基本事件数是无限多的，上式中的分母是一个无法用数值表示的可无限增大的数（+∞），分子可以是个有限的数字，也可以是一个无限大的数（无限大中除去有限的点），连分子分母都无法确定，又如何能求得结果？

    再继续：

    其实上式也是一个部分与整体的比：

        所有基本事件——整体

        随机事件中包含的基本事件——部分

    进一步将这个整体看作是一个匀质的几何体，随机事件中包含的基本事件看作是这个匀质几何的体内的一个区域，

        所有基本事件——几何体

        随机事件中包含的基本事件——几何体中的某一区域

    将概率看作是部分与整体的重量比，等可能说明密度处处相等，即几何体是匀质的，所以：重量比 = 体积比

        所有基本事件——均质几何体

        随机事件中包含的基本事件——匀质几何体中的某一区域

        概率——部分与整体的重量比 = 部分与整体的体积比

    由以上类比分析，可得下面结论：

    几何概型的随机事件的概率=部分在整体中的几何占比

    几何占比可以是：长度比、面积比、体积比或角度比等，这也是几何概型名字的由来，几何概型也常常可以转化为在几何体中随机取值。

2）示例：

    例 2，在数轴上 0≤x≤100 的区域内任意取一点，随机事件 A 为：点落在 40≤x≤60 范围内，求 P(A)



    解：P(A)=(60-40)÷100=0.2

    提示：这里概率就是长度之比

2、几何概型基本事件的概率

1）概率推导

    在几何概型中，基本事件相当于几何体中的一个点，我们知道点是无大小的，一个点在几何体中的占比 = 0 ，比如：

    ① 一条线段中的某个点，点的长度/线段的长度 = 0

    ② 矩形中的某个点，点的面积/矩形的面积 = 0

    所以同样的，在几何概型中，每个基本事件的概率 = 0 ，即：

    若随机事件 A 属于某几何概型的基本事件，那么 P(A) = 0 。

2）扩展（几个基本事件的和事件的概率）

    进一步的，几何体中有限的几个点在几何体中的占比 = 0 ，所以同样的有：

    若随机事件 A 是由某几何概型中有限的几个基本事件组成的，那么 P(A) = 0

    所以在几何概型中，有限几个基本事件的概率是不影响随机事件概率的。

3）示例

    例 3、在数轴上 0≤x≤100 的区域内任意取一点，随机事件 A 为：点落在 40＜x＜60 范围内，随机事件 B 为：点落在 40≤x≤60 范围内，求 P(B)、P(A)



    解：P(A)=P(B)=(60-40)÷100=0.2

    提示：

    ①上例表明，是否包含端点对区间内取值概率没有影响，其实若是去掉区间内部的几个点，其概率仍然不变；

    ②在该随机试验中，0 到 100 之间有无数个点（实数），点恰好在某一点的可能性很小很小，这就是概率 = 0 的含义。正如石头总是会落如沙坑内的某一点的，但是它恰好落入一个定点 A 与它落入点 A 以外区域的可能性相比，几乎是不可能发生的事情，但是并不说明石头一定落在 A 点以外，而不会落在 A 点。



三、求证：P(A) = 0 ≠> A 是不可能事件，P(A) = 1 ≠> A 是必然事件

1、求证：P(A) = 0 ≠> A 是不可能事件

    证明：假设 P(A) = 0 ＝> A 不可能发生

        若已知随机事件 A 是某几何概型的基本事件，那么 P(A) = 0

        根据假设，随机事件 A 是不可能事件，这与 A 是基本事件相矛盾

        所以假设错误，即 P(A) = 0 ≠> A 是不可能事件

2、求证：P(A) = 1 ≠>A 是必然事件

    证明：假设 P(A) = 1 ＝> A 是必然事件

        若已知随机事件 A1 是某几何概型的基本事件，随机事件 A2 是该几何概型中除去 A1 后剩下的基本事件组成的随机事件，即 A1 体积 + A2体 积 = 几何概型体积，则：

        ∵ P(A1) = A1 体积/几何概型体积

        P(A2) = A2 体积/几何概型体积

        又 ∵ A1 体积 + A2体积 = 几何概型体积

        ∴ P(A2) + P(A1) = 1

        又 ∵ 随机事件 A1 是几何概型的基本事件

        ∴ P(A1) = 0

        ∴ P(A2) = 1

        ∴ 根据假设，A2 是必然事件，这与已知矛盾

        ∴ 假设错误

        ∴ P(A) = 1 ≠> A 是必然事件

童话学愿