$\Large\underset{n\to\infty}{\overline{\lim}}\{n+1,n+2,\ldots\}=\phi$

elim

根据周民强【实变函数论】第二版第一章 第9-10页的定义定理有
$\underset{n\to\infty}{\overline{\lim}}A_n=\displaystyle\bigcap_{n=1}^\infty\bigcup_{k=n}^\infty A_k=\{x\mid \text{对无穷多}n,\,x\in A_n\}$
$\underset{n\to\infty}{\underline{\lim}}A_n=\displaystyle\bigcup_{n=1}^\infty\bigcap_{k=n}^\infty A_k=\{x\mid \text{至多对有限个}n,\,x\not\in A_n\}$
$\forall \{A_n\}\,\big(\underset{n\to\infty}{\underline{\lim}}A_n\subseteq\underset{n\to\infty}{\overline{\lim}}A_n\big)$
取 $A_n=\{n+1,n+2,\ldots\}\;(n\in\mathbb{N})$
因为对每个$m\in\mathbb{N},\;m\not\in A_n\,(n\ge m)$, 即属于无穷多个$A_n$
的自然数不存在，即 $\underset{n\to\infty}{\underline{\lim}}A_n\subseteq\underset{n\to\infty}{\overline{\lim}} \{n+1,n+2,\ldots\}=\varnothing.$
所以 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\{n+1,n+2,\ldots\}=\varnothing.$
周民强的例(5) $\displaystyle\lim_{n\to\infty}[n,\infty) =\varnothing$ 也是这个的逻辑。

elim

【命题】$\displaystyle\bigcap_{n=1}^\infty\bigcup_{k=n}^\infty A_k=\{x\mid \forall n\in\mathbb{N}\exists k\ge n\,(x\in A_k)\}$
【证明】$\displaystyle m\in\bigcap_{n=1}^\infty\bigcup_{k=n}^\infty A_k$ 当且仅当对每个$n\in\mathbb{N},\;m\in\displaystyle\bigcup_{k=n}^\infty A_k$
$\qquad\quad$当且仅当对每个$n$ 有 $k_n\ge n$ 使得 $m\in A_{k_n}.\quad\square$
【注记】当$\{A_n\}$单调降时 $\displaystyle\bigcup_{k=n}^\infty A_k=A_n,$
$\qquad\quad\underset{n\to\infty}{\overline{\lim}}A_n=\displaystyle\bigcap_{n=1}^\infty A_n\subseteq\bigcup_{n=1}^\infty\bigcap_{k=n}^\infty A_k=\underset{n\to\infty}{\underline{\lim}}A_n$
$\quad\therefore\quad\displaystyle\lim_{n\to\infty}A_n=\bigcap_{n=1}^\infty A_n$

elim

本主题回顾了集列的上下极限的定义，证明了单调降集列必收敛
以及周民强有关定义的合理性。$\displaystyle\lim_{n\to\infty}[n,\infty)=\varnothing$
的原因是对任意实数$x,\;x\not\in [n,\infty)\;(\forall n>\lfloor x\rfloor)$. 即$\underset{n\to\infty}{\overline{\lim}}[n,\infty)=\varnothing.$
同理得 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\{n+1,n+2,\ldots\}=\varnothing$

春风晚霞

elim 发表于 2024-7-12 07:16
本主题回顾了集列的上下极限的定义，证明了单调降集列必收敛
以及周民强有关定义的合理性。\(\displaystyl ...

       读了elim的大作：【根据蠢疯爱戴的周翁的书，蠢疯顽瞎先生这半年多来啼的猿声是一无是处. 包括蠢氏可达，自然数包括超穷数，包括极限序数，甚至自然数已被康托基数取代等等具有孬种反数学特色的邪说。说白了, 蠢疯压根就没有对的时候，孬种靠[悠悠万事，唯反数学为大]续命。您觉得要怼我elim, 什么下三滥招数都可以出手是吧？我无所谓您老有点臭脾气。骂我的话留着没事，不过你总该对这个版块负点责吧？你要不要清算一下你每天百十贴中的数学谬论和谣言？或者您公开向周翁认栽？相信广大网友是很宽容的，知道您种孬身不由己，不把您的胡扯当真也就算了？】我感到万分错愕，elim可能忘了你最多只能算e氏数学的掌门，你根本代表不了“现代数学”，宏论中所列举我的一系列罪状，我只当是狼嚎大吠。我们的辩驳中，我确实引用过不少名家的至理名言，唯独没找到哪位名家有【无穷交就是一种骤变】的只言片语！周翁虽己岁逾百年，但人还健在。你能否把我辩驳的帖子整理成文稿，呈请周翁裁判，你认为你的胜算能有多大？
       ​e大掌门最近的帖文中，【单调降集列的极限集必存在, 未必是空集, 也未必非空】确实是一句实话。也是说单调集合列的极限集极限集是否是空集，只与$A_n$的定义式有关，而与$A_n$是否含于[n，∞)无关。按现行教科书集合理论计算$\displaystyle\lim_{k→∞}\{k+1，k+2，…\}≠\phi$(你和狗先生，都有这个能力，只不过你们永远不愿去这样做。)$\displaystyle\lim_{n→∞}[n，∞)=[∞，∞)=\phi$(即不存不小于∞又小于∞的元素)，所以例5是正确的。而$\displaystyle\lim_{k→∞}\{k+1，k+2，…\}$有下限$\nu+1$($\nu=\displaystyle\lim_{k→∞}k$)而无上限。也就是说周先生《实变函数论》P9页例5是在[k，$\nu$)这个区间上考虑的，而$\displaystyle\lim_{k→∞}\{k+1，k+2，…\}$的每个数都大于$\nu$，故此集合关系式$\displaystyle\lim_{k→∞}\{k+1，k+2，…\}$$\subseteq$$\displaystyle\lim_{n→∞}\}[n，∞)$是错的！你们盲目导用周氏例5是对周老先生的亵渎！这也就是你们把本来不是空集(非空)弄成空集(亦空)的缘由之所在！
       我没有曹氏文雅，也没有论坛其他网友大度，我的臭脾气就是数坛辩驳中讲理我陪，骂架我也陪，你不尊老又何颜要我爱幼！

春风晚霞

elim 发表于 2024-7-12 10:55
蠢疯种孬是客观事实。孬种顾名思义就是孬呗，就是坏事做绝，屁话说尽对不对？

根据蠢疯爱戴的周翁的书， ...

       读了elim的大作：【根据蠢疯爱戴的周翁的书，蠢疯顽瞎先生这半年多来啼的猿声是一无是处. 包括蠢氏可达，自然数包括超穷数，包括极限序数，甚至自然数已被康托基数取代等等具有孬种反数学特色的邪说。说白了, 蠢疯压根就没有对的时候，孬种靠[悠悠万事，唯反数学为大]续命。您觉得要怼我elim, 什么下三滥招数都可以出手是吧？我无所谓您老有点臭脾气。骂我的话留着没事，不过你总该对这个版块负点责吧？你要不要清算一下你每天百十贴中的数学谬论和谣言？或者您公开向周翁认栽？相信广大网友是很宽容的，知道您种孬身不由己，不把您的胡扯当真也就算了？】我感到万分错愕，elim可能忘了你最多只能算e氏数学的掌门，你根本代表不了“现代数学”，宏论中所列举我的一系列罪状，我只当是狼嚎大吠。我们的辩驳中，我确实引用过不少名家的至理名言，唯独没找到哪位名家有【无穷交就是一种骤变】的只言片语！周翁虽己岁逾百年，但人还健在。你能否把我辩驳的帖子整理成文稿，呈请周翁裁判，你认为你的胜算能有多大？
       e大掌门最近的帖文中，【单调降集列的极限集必存在, 未必是空集, 也未必非空】确实是一句实话。也是说单调集合列的极限集极限集是否是空集，只与$A_n$的定义式有关，而与$A_n$是否含于[n，∞)无关。按现行教科书集合理论计算$\displaystyle\lim_{k→∞}\{k+1，k+2，…\}≠\phi$(你和狗先生，都有这个能力，只不过你们永远不愿去这样做。)$\displaystyle\lim_{n→∞}[n，∞)=[∞，∞)=\phi$(即不存不小于∞又小于∞的元素)，所以例5是正确的。而$\displaystyle\lim_{k→∞}\{k+1，k+2，…\}$有下限$\nu+1$($\nu=\displaystyle\lim_{k→∞}k$)而无上限。也就是说周先生《实变函数论》P9页例5是在[k，$\nu$)这个区间上考虑的，而$\displaystyle\lim_{k→∞}\{k+1，k+2，…\}$的每个数都大于$\nu$，故此集合关系式$\displaystyle\lim_{k→∞}\{k+1，k+2，…\}$$\subseteq$$\displaystyle\lim_{n→∞}\}[n，∞)$是错的！你们盲目导用周氏例5是对周老先生的亵渎！这也就是你们把本来不是空集(非空)弄成空集(亦空)的缘由之所在！
       我没有曹氏文雅，也没有论坛其他网友大度，我的臭脾气就是数坛辩驳中讲理我陪，骂架我也陪，你不尊老又何颜要我爱幼！

春风晚霞

elim 发表于 2024-7-12 11:00
周明强断言 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}[n,\infty)=\varnothing$。因为\(\{n+1,n+2,\ldots\}\subset ...

在回复e大掌门《非空亦空》主题之前，我们先根据现行数学的集合理论证明单减集合列$\{A_m=\{k\in\mathbb{N}: k>m\}\}$的极限集非空！其证明过程如下：
【证明】：由此集合列的通项$A_m=\{k\in\mathbb{N}: k>m\}$得:$A_1=\{2，3，4，…\}$，$A_2=\{3，4，5…\}$，……$A_k=\{k+1，k+2，k+3，…\}$，……$\color{red}{①}$；易证该集合列单调递减，根据周民强《实变函数论》P9页定义1.8立得：$\displaystyle\bigcap_{k=1}^∞ A_k=$$\displaystyle\lim_{k→∞}\(\{k+1，k+2，k+3，…\}$$\color{red}{②}$；同理由此集合列的通可得$A_1^c=\{1\}$，$A_2^c=\{1，2\}$，……A_k^c=\{1，2，……，k\}\)$\color{red}{③}$易证集合列$\{A_k^c\}$单调递增，所以根据周民强《实变函数论》P9页定义1.8有$\displaystyle\bigcup_{k=1}^∞ A_k^c=\displaystyle\lim_{k→∞} A_k^c$$=\displaystyle\lim_{k→∞}(\{k+1，k+2，k+3，…\})^c$。$\color{red}{④}$
若设$\nu=\displaystyle\lim_{k→∞}k$。根据康托尔〖有穷基数的无穷序列：1，2，3，……，$\nu$。$\nu$+1，$\nu$+2……〗(参见康托尔著《超穷数理论基础》P75页)知$\nu=\displaystyle\lim_{k→∞}k$是存在的。否则$\nu$的前趋$\nu$-1不存在。$\nu$-1的前趋$\nu$-2不存在……k的前趋k--1不存在……直至像4，3，2，1这些常见的自然数也不存。这与自然数的构成原理(即Peano Axioms)矛盾。所以$\nu$是容观存在的。由$\nu$的存在性，根据Peano Axioms，$\nu$+1，$\nu$+2，……也都是客观存在的。所以$\displaystyle\lim_{k→∞}\(\{k+1，k+2，k+3，…\}≠\phi\|)！【证毕】从上面的证明②知道\(\displaystyle\bigcap_{k=1}^∞ A_c=\displaystyle\lim_{k→∞}\{k+1，k+2，…\}≠\phi$，由④知$\displaystyle\bigcup_{k=1}^∞ A_k^c=$$\displaystyle\lim_{k→∞}(\{k+1，k+2，…\})^c≠\phi$，所以$\displaystyle\bigcup_{k=1}^∞ A_k^c=$$\displaystyle\lim_{k→∞}\{k+1，k+2，…\}^c$
【评述】主帖【定义】对$m\in\mathbb{N}$定义$A_m=\{k\in\mathbb{N}: k>m\},\;$定义$N_{\infty}=\displaystyle\bigcap_{n=1}^\infty A_n$】的同时也定义了$N_∞=\displaystyle\lim_{k→∞}\{k+1，k+2，k+3，…\}$
【评述】主帖非空即空定理（【定理】若$N_{\infty}\ne\varnothing,$ 则$N_{\infty}=\varnothing.$)是【无穷交就是一种骤变】所形成的悖论！
【评述】主帖定理的证明（【证明】(1)对每个$m\in N_{\infty}$ 有 $m\in A_m$(交集的元亦是参与交的各集合的元)
$\qquad\quad$(2)但显然$m\in\{k\in\mathbb{N}: k\le m\}=A_m^c$
$\quad\therefore\quad m\in A_m\cap A_m^c=\varnothing\,(m$是$A_m,A_m^c$的公共元因而是$\varnothing$的元)
$\quad\therefore\quad N_{\infty}\subseteq\varnothing,\;N_{\infty}=\varnothing\,$(空集的子集是空集)$\quad\square$）是违背前文$\color{red}{②、④}$结果的胡扯。
【评述】主帖（不管孬种蠢疯咋样扯，它仍是个自蛋自捣，自我打脸的蠢东西。）更彰显e大掌门既无学术修养，又无道德底线的混混！老夫所说“非空即空”是对你【无穷交就是一种骤变】的讥讽和哂笑，你还不以为耻，反以为荣，到处张扬颜面尽失！

春风晚霞

elim 发表于 2024-7-12 11:36
周明强断言 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}[n,\infty)=\varnothing$。因为\(\{n+1,n+2,\ldots\}\subset ...

[color]=blue]
在回复e大掌门《非空亦空》主题之前，我们先根据现行数学的集合理论证明单减集合列$\{A_m=\{k\in\mathbb{N}: k>m\}\}$的极限集非空！其证明过程如下：
【证明】：由此集合列的通项$A_m=\{k\in\mathbb{N}: k>m\}$得:$A_1=\{2，3，4，…\}$，$A_2=\{3，4，5…\}$，……$A_k=\{k+1，k+2，k+3，…\}$，……$\color{red}{①}$；易证该集合列单调递减，根据周民强《实变函数论》P9页定义1.8立得：$\displaystyle\bigcap_{k=1}^∞ A_k=$$\displaystyle\lim_{k→∞}\(\{k+1，k+2，k+3，…\}$$\color{red}{②}$；同理由此集合列的通可得$A_1^c=\{1\}$，$A_2^c=\{1，2\}$，……A_k^c=\{1，2，……，k\}\)$\color{red}{③}$易证集合列$\{A_k^c\}$单调递增，所以根据周民强《实变函数论》P9页定义1.8有$\displaystyle\bigcup_{k=1}^∞ A_k^c=\displaystyle\lim_{k→∞} A_k^c$$=\displaystyle\lim_{k→∞}(\{k+1，k+2，k+3，…\})^c$。$\color{red}{④}$
若设$\nu=\displaystyle\lim_{k→∞}k$。根据康托尔〖有穷基数的无穷序列：1，2，3，……，$\nu$。$\nu$+1，$\nu$+2……〗(参见康托尔著《超穷数理论基础》P75页)知$\nu=\displaystyle\lim_{k→∞}k$是存在的。否则$\nu$的前趋$\nu$-1不存在。$\nu$-1的前趋$\nu$-2不存在……k的前趋k--1不存在……直至像4，3，2，1这些常见的自然数也不存。这与自然数的构成原理(即Peano Axioms)矛盾。所以$\nu$是容观存在的。由$\nu$的存在性，根据Peano Axioms，$\nu$+1，$\nu$+2，……也都是客观存在的。所以$\displaystyle\lim_{k→∞}\(\{k+1，k+2，k+3，…\}≠\phi\|)！【证毕】从上面的证明②知道\(\displaystyle\bigcap_{k=1}^∞ A_c=\displaystyle\lim_{k→∞}\{k+1，k+2，…\}≠\phi$，由④知$\displaystyle\bigcup_{k=1}^∞ A_k^c=$$\displaystyle\lim_{k→∞}(\{k+1，k+2，…\})^c≠\phi$，所以$\displaystyle\bigcup_{k=1}^∞ A_k^c=$$\displaystyle\lim_{k→∞}\({k+1，k+2，…\})^c$
【评述】主帖【定义】对$m\in\mathbb{N}$定义$A_m=\{k\in\mathbb{N}: k>m\},\;$定义$N_{\infty}=\displaystyle\bigcap_{n=1}^\infty A_n$】的同时也定义了$N_∞=\displaystyle\lim_{k→∞}\{k+1，k+2，k+3，…\}$
【评述】主帖非空即空定理（【定理】若$N_{\infty}\ne\varnothing,$ 则$N_{\infty}=\varnothing.$)是【无穷交就是一种骤变】所形成的悖论！
【评述】主帖定理的证明（【证明】(1)对每个$m\in N_{\infty}$ 有 $m\in A_m$(交集的元亦是参与交的各集合的元)
$\qquad\quad$(2)但显然$m\in\{k\in\mathbb{N}: k\le m\}=A_m^c$
$\quad\therefore\quad m\in A_m\cap A_m^c=\varnothing\,(m$是$A_m,A_m^c$的公共元因而是$\varnothing$的元)
$\quad\therefore\quad N_{\infty}\subseteq\varnothing,\;N_{\infty}=\varnothing\,$(空集的子集是空集)$\quad\square$）是违背前文$\color{red}{②、④}$结果的胡扯。
【评述】主帖（不管孬种蠢疯咋样扯，它仍是个自蛋自捣，自我打脸的蠢东西。）更彰显e大掌门既无学术修养，又无道德底线的混混！老夫所说“非空即空”是对你【无穷交就是一种骤变】的讥讽和哂笑，你还不以为耻，反以为荣，到处张扬颜面尽失！

春风晚霞

elim 发表于 2024-7-12 13:08
周明强断言 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}[n,\infty)=\varnothing$。因为\(\{n+1,n+2,\ldots\}\subset ...

       读了elim的大作：【根据蠢疯爱戴的周翁的书，蠢疯顽瞎先生这半年多来啼的猿声是一无是处. 包括蠢氏可达，自然数包括超穷数，包括极限序数，甚至自然数已被康托基数取代等等具有孬种反数学特色的邪说。说白了, 蠢疯压根就没有对的时候，孬种靠[悠悠万事，唯反数学为大]续命。您觉得要怼我elim, 什么下三滥招数都可以出手是吧？我无所谓您老有点臭脾气。骂我的话留着没事，不过你总该对这个版块负点责吧？你要不要清算一下你每天百十贴中的数学谬论和谣言？或者您公开向周翁认栽？相信广大网友是很宽容的，知道您种孬身不由己，不把您的胡扯当真也就算了？】我感到万分错愕，elim可能忘了你最多只能算e氏数学的掌门，你根本代表不了“现代数学”，宏论中所列举我的一系列罪状，我只当是狼嚎大吠。我们的辩驳中，我确实引用过不少名家的至理名言，唯独没找到哪位名家有【无穷交就是一种骤变】的只言片语！周翁虽己岁逾百年，但人还健在。你能否把我辩驳的帖子整理成文稿，呈请周翁裁判，你认为你的胜算能有多大？
       ​e大掌门最近的帖文中，【单调降集列的极限集必存在, 未必是空集, 也未必非空】确实是一句实话。也是说单调集合列的极限集极限集是否是空集，只与$A_n$的定义式有关，而与$A_n$是否含于[n，∞)无关。按现行教科书集合理论计算$\displaystyle\lim_{k→∞}\{k+1，k+2，…\}≠\phi$(你和狗先生，都有这个能力，只不过你们永远不愿去这样做。)$\displaystyle\lim_{n→∞}[n，∞)=[∞，∞)=\phi$(即不存不小于∞又小于∞的元素)，所以例5是正确的。而$\displaystyle\lim_{k→∞}\{k+1，k+2，…\}$有下限$\nu+1$($\nu=\displaystyle\lim_{k→∞}k$)而无上限。也就是说周先生《实变函数论》P9页例5是在[k，$\nu$)这个区间上考虑的，而$\displaystyle\lim_{k→∞}\{k+1，k+2，…\}$的每个数都大于$\nu$，故此集合关系式$\displaystyle\lim_{k→∞}\{k+1，k+2，…\}$$\subseteq$$\displaystyle\lim_{n→∞}\}[n，∞)$是错的！你们盲目导用周氏例5是对周老先生的亵渎！这也就是你们把本来不是空集(非空)弄成空集(亦空)的缘由之所在！
       我没有曹氏文雅，也没有论坛其他网友大度，我的臭脾气就是数坛辩驳中讲理我陪，骂架我也陪，你不尊老又何颜要我爱幼！

elim

周明强断言 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}[n,\infty)=\varnothing$。因为$\{n+1,n+2,\ldots\}\subset[n,\infty)$
所以$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\{n+1,n+2,\ldots\}\subseteq\lim_{n\to\infty}[n,\infty)=\varnothing$
蠢疯的计算$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\{n+1,n+2,\ldots\}\ne\varnothing$的错误原因没人感兴趣，
不外乎1）种太孬，2）反集论恶搞。

蠢疯种孬是客观事实。孬种顾名思义就是孬呗，就是坏事做绝，屁话说尽对不对？

根据蠢疯爱戴的周翁，蠢疯顽瞎先生这半年多来啼的猿声是一无是处. 包括蠢氏可达，自然数包括超穷数，包括极限序数，甚至自然数已被康托基数取代等等具有孬种反数学特色的邪说。说白了, 蠢疯压根就没有对的时候，孬种靠[悠悠万事，唯反数学为大]续命。

elim

没有自然数属于每个$A_n$．故$N_{\infty}=\varnothing$.
这是常人最容易想到的．在一般情况下问题
就是这么简单直接．但碰到孬种就不好说了．
所以想到周民强是否能帮到孬种蠢疯顽瞎，
不料:
民强不知道孬种不会算集合交，
蠢疯不知道其种竟然会这么孬．