日本数学大家小平邦彦：向小学生讲解集合论是一个天大的错误

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日本数学大家小平邦彦：向小学生讲解集合论是一个天大的错误

来源：中国科学院数学与系统科学研究院 2024 年 07 月 11 日 10:36 北京



一般认为，现代数学的基础是集合论，因此数学教育应该从集合开始。数学教育的现代化正是基于上述想法发展起来的。不过此处需要注意基础的含义。之所以说现代数学的基础是集合论，是因为我们在分析数学结构时发现，数学的研究对象都是构成该对象的要素集合。好比我们在分析物质的时发现所有物质都是由基本粒子构成的。

例如，我们数学家在研究微分几何中的平面曲线，定义曲线是点的集合（点集）。不过平面曲线绝不是分散的点集，可以将其想象成是纸面上的一条曲线。如果在感觉上对曲线没有形成一种类似的形象，那么很难能够理解微分几何。

在包括微分几何在内的所有数学领域，数学家对其研究的数学对象多少会建立一种感觉上的形象。在某种意义上，没有形象相当于无法理解这个对象，因此这种感觉上的形象远比集合更重要。英国著名的音乐家唐纳德爵士（Sir Donald Touvy）在某大学发表演讲时提到以下内容：“如果法律能够禁止‘贝多芬的第五交响曲基于由四个音构成的音型’的看法，那么作曲教育和音乐理解将会大大得到提高。虽然旋律作为大局上的音乐对象被分解成不同的音型，但旋律并非源于音型。”

简而言之，第五交响曲之所以是第五交响曲，源于其整个音乐的模式，而不是构成它的音型。在数学领域也是一样，例如曲线被分解成点集，不过曲线之所以是曲线，源于整个曲线的模式，而不是构成这条曲线的点集。我们在理解数学时，必须要从感觉上把握数学研究对象在全局上的模式。进而在理解某个数学领域的理论体系时，必须要从感觉上把握整个体系的模式。

集合是现代数学的基础，这只不过是数学的一个小方面。不幸的是，现代数学无法直观地、严密地表现感觉上的形象。因此只好将曲线定义成满足若干条件的点集。坦白说，集合论只不过是严密表达现代数学的基础而已。数学教育现代化的根本误区在于，将这种意义上的基础误以为是数学教育的基础。从根本上来看，作为分析结果的基础和作为教育出发点的基础完全不同。该逻辑同样适用于物理学，我们在分析物质的时发现所有物质都是由基本粒子构成，因此我们会误以为物理教育应该从基本粒子开始。两者的唯一区别是基本粒子理论显然太难，而集合论相对来说比较简单。

我认为数学教育应该遵循数学的历史发展顺序展开。生物是进步发展的典型代表，生物个体的出现重复着系统进化，数学教育亦是如此。对于孩子们来说，比起基础逻辑概念，历史上较早出现的概念更容理解。

如果颠倒顺序先让孩子们接触历史上较迟出现的领域，孩子们基本上不能理解该领域的核心内容，因此最终只涉及非核心的无聊部分。花费大量时间在无聊内容上将会减少重要讲解内容的时间，造成整个数学教育的效率低下。在高中以前的阶段，最好将教学内容控制在从 17 世纪后半期到 18 世纪的微积分学。为了研究无限集合，康托尔在 19 世纪末期建立了集合论。集合论的意义至少要到用对角线论证法能理解“整个实数集合大于整个自然数集合”的程度。

因此，向小学生讲解集合论是一个天大的错误。小学生既没学过对角线论证法，又不知道实数，所以只能接触集合论中最无趣、最可有可无的内容。小学生接触的集合论不难，但是因为是集合论中最无趣的部分，所以即使理解这部分的内容也不一定能理解什么是集合论。我实在不懂为什么学习集合论的小学生和讲解集合论的老师一定要跟如此无趣的内容打交道呢？

除了集合论以外，目前所使用的指导纲领还硬性规定必须引入另外几个忽视历史发展的领域。例如规定初三要学习拓扑学，根据指导纲领的要求，学生需要掌握著名的若尔当曲线定理，即单一闭曲线把平面分成两部分。其原因在于，虽然一般认为若尔当曲线定理很难证明，不过从直观上感觉是不证自明。但是直观上的不证自明也只限于圆周、凸多边形等简单图形，一般情况下都不是不证自明。



贝拉·朱尔兹（Bela Julesz）在《科学》 4 月刊上刊登了一篇论文，文中的两幅图正好戏剧性地证明了上述观点。图中的两条曲线 A 和 B 从直观上看好像位相相同，其实 A 是单一闭合曲线，把平面分成两个部分，而 B 不是单一闭合曲线，把平面分成三个部分。不管是从直观上还是理论上，这个定理都如此复杂，初中生怎么可能理解？也许只要让他们理解类似圆周和凸多边形的简单图形即可，不过仅仅如此不符合指导纲领规定的所谓的拓扑学思考。凸多边形的凸性质是计量上的性质，而不是拓扑学上的性质。显然指导纲领对于该部分的规定是错误的，而且日本文部省丝毫没有想要修改指导纲领的意思，真是令人头疼。



来源：图灵新知