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变分法基础

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发表于 2024-7-16 12:24 | 显示全部楼层 |阅读模式
变分法基础

原创 埃及王子 埃王的小巢 2024 年 05 月 31 日 01:38 海南

前言

新开一个系列讲最小作用量原理,前面两章铺垫数学背景,即变分法基础。

注意:所有内容均以个人理解讲述,可能存在不严谨等问题,具体学习还请参阅专业教材[1]。

函数

我们知道,函数 y = f(x) 是输入一个数 x ,经过映射 f : x |→ y = f(x) 后,输出一个数 y ,即给一个数得到一个数,这是基本的函数。

泛函

泛函与函数不同,他像一个机器,接收我们输入的函数,它返回一个数。这里要与“函数”区分开:

● 函数是接收“数”输出“数”。

● 泛函是接收“函数”输出“数”。

这里给出几个具体的例子帮助理解:

最速降线问题:给定小球运动的轨道 y(x) ,我们可以得到他的运动时间 t 。这里 t 是的 y(x) 泛函。我们输入函数 y(x)(即轨道),得到一个数 t 。

理想气体准静态过程对外做功:给定气体过程方程 p(V) ,我们可以得到他在过程中对外做的功 W 。在这里,W 是 p(V) 的泛函。

对于泛函,有别于函数 f ,通常我们使用 S 来表述,即:



微分

对于函数,我们为了研究其变化率,引入微分的概念:



导数

有了微分我们可以进一步定义变化率:



变分

类似的,在泛函中,自变量是一个函数,我们自然会想到自变量发生微小变化时所带来的泛函发生的变化,于是引出函数的变分:



我们可以做一个简单的直观证明,如下图所示:


变分与微分运算可交换顺序

我们研究 A 点到 B' 点的变化。有两条路径可走:



结束

我们简单介绍了泛函和变分的概念,接下来我们会进一步引出泛函导数与泛函极值等问题。

写在最后

句子表述或相关证明也许存在问题,欢迎指出和讨论。

参考资料:

[1] 《经典力学》/高显,科学出版社,2023.9

埃王的小巢

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