\(\huge\color{red}{\textbf{实数集可数定理和证明}}\)

APB先生

定理  实数集可数
证明  
                  因为 \(1\) 个有理数或无理数都可数；
                  因为 \(n\) 个有理数或无理数都可数；
                  因为 \(n+1\) 个有理数或无理数都可数；
                  所以任意多个有理数或无理数都可数；
                  所以实数集可数。

证毕

实数集可数的证明（二）

      因为证明实数集 \(\mathbb{R}\) 可数，只要证明区间 \(\left( 0{,}1\right)\) 的全体实数可数即可；
      因为区间 \(\left( 0{,}1\right)\) 的全体小数与全体分数是等势的：\[\left( 0{,}1\right)=\bigcup_{n=1}^{\infty}0.a_1a_2\cdots a_n=\bigcup_{n=1}^{\infty}\frac{a_1a_2\cdots a_n}{10^n}{,}\ \ \ \ \ \ a_n\in\left\{ 1{,}2{,}\cdots{,}9\right\}\]
      因为区间 \(\left( 0{,}1\right)\) 的全体分数与自然数集是等势的，\[\left| \left\{ \frac{1}{10^n}{,}\ \frac{2}{10^n}{,}\ \cdots{,}\ \frac{10^n-1}{10^n}\right\}_{n=1}^{\ \infty}\right|=\left| \left\{ 1{,}\ 2{,}\ \cdots{,}\ 10^n-1\right\}_{n=1}^{\ \infty}\right|\]
      所以实数集 \(\mathbb{R}\) 可数。
  

实数集可数的证明（三）

      设区间 \(\left( 0{,}1\right)\) 的任一实数为：\(0.a_1a_2\cdots\) ；
      因为 \(0.a_1a_2\cdots\) 至少可与二个自然数 \(a_1a_2\cdots.0\wedge\cdots a_2a_1.0\) 建立一一对应：\[f:0.a_1a_2\cdots\longleftrightarrow\begin{cases}
a_1a_2\cdots.0\in\mathbb{N}\\
\cdots a_2a_1.0\in\mathbb{N}
\end{cases}\]
      例如\[f:0.499\cdots\longleftrightarrow\begin{cases}
499\cdots.0\in\mathbb{N}\\
\cdots994.0\in\mathbb{N}
\end{cases}\]
      所以任一实数 \(0.a_1a_2\cdots\) 都是可数的；
      所以 \(\left( 0{,}1\right)\) 是可数的。
      所以实数集 \(\mathbb{R}\) 是可数的。

实数集可数的证明（四）

      设区间 \(\left( 0{,}1\right)\) 的任意 \(n\) 位小数集为：\(\left\{ 0.a_1a_2\cdots a_n\right\}_{n=1}^{\ \infty}\) ；
      因为 \(\left\{ 0.a_1a_2\cdots a_n\right\}_{n=1}^{\ \infty}\) 的基数（元素的个数）只是 \(10^n-1\) ： \[\left| \left\{ 0.a_1a_2\cdots a_n\right\}_{n=1}^{\ \infty}\right|=10^n-1\]
      例如\[\left| \left\{ 0.a_1a_2\right\}=\left\{ 0.01{,}0.02{,}\cdots{,}0.99\right\}\right|=10^2-1\]
      所以区间 \(\left( 0{,}1\right)\) 的任一 \(n\) 位小数集都是可数的；
      所以  \(\left( 0{,}1\right)\) 可数，当 \(n\to\infty\) 时：  \[\left| \left( 0{,}1\right)\right|=\dot{9}\]
      所以实数集 \(\mathbb{R}\) 是可数的。

elim

因为楼主不识数，所以没啥不可数。不过\(\aleph=2^{\aleph_0}\)

APB先生

傻瓜，万物可数 ！！实数也可数 ！！

elim

学渣 jzkyllcjl，范副，hxl268, APB,  谢邪，白仙鹤，李利浩，主楞都这么说。
蠢疯不好说，但它在脑残方面不输给任何学渣。

APB先生

elim：你若能写出不可数的三个实数来，我就服你 ！如果你连不可数的一个实数也写不出来，就只能说明你是完全错误的，你就要老老实实的痛改前非。

elim

APB先生 发表于 2024-8-3 19:32
elim：你若能写出不可数的三个实数来，我就服你 ！如果你连不可数的一个实数也写不出来，就只能说明你是完 ...

你根本不知道什么是可数。

APB先生

elim 发表于 2024-8-4 10:35
你根本不知道什么是可数。

      楼上的 elim 怂了，不敢回答我 5 楼的问题，胡扯别的废话了。
      可数：与 \(\mathbb{N}\) 对等、可与自然数集 \(\mathbb{N}\) 建立一一对应。

APB先生

先回答我 5 楼的问题。

elim

APB先生 发表于 2024-8-3 23:45
先回答我 5 楼的问题。

三个数不可数的问题，不懂何谓可数的人才题得出来．

APB先生

不可数集是不存在的，是没有元素的, 因此 elim 一个也写不出的，谁也写不出来。区间 \(\left( 0{,}\ 1\right)\)  的全体实数的个数就是连续统基数 \(c\in\mathbb{N}\)。