数学中国

标题: \(\huge\color{red}{\textbf{实数集可数定理和证明}}\) [打印本页]

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作者: APB先生    时间: 2024-8-4 08:36
标题: \(\huge\color{red}{\textbf{实数集可数定理和证明}}\)


定理  实数集可数
证明  
                  因为 \(1\) 个有理数或无理数都可数；
                  因为 \(n\) 个有理数或无理数都可数；
                  因为 \(n+1\) 个有理数或无理数都可数；
                  所以任意多个有理数或无理数都可数；
                  所以实数集可数。

证毕

实数集可数的证明（二）

      因为证明实数集 \(\mathbb{R}\) 可数，只要证明区间 \(\left( 0{,}1\right)\) 的全体实数可数即可；
      因为区间 \(\left( 0{,}1\right)\) 的全体小数与全体分数是等势的：\[\left( 0{,}1\right)=\bigcup_{n=1}^{\infty}0.a_1a_2\cdots a_n=\bigcup_{n=1}^{\infty}\frac{a_1a_2\cdots a_n}{10^n}{,}\ \ \ \ \ \ a_n\in\left\{ 1{,}2{,}\cdots{,}9\right\}\]
      因为区间 \(\left( 0{,}1\right)\) 的全体分数与自然数集是等势的，\[\left| \left\{ \frac{1}{10^n}{,}\ \frac{2}{10^n}{,}\ \cdots{,}\ \frac{10^n-1}{10^n}\right\}_{n=1}^{\ \infty}\right|=\left| \left\{ 1{,}\ 2{,}\ \cdots{,}\ 10^n-1\right\}_{n=1}^{\ \infty}\right|\]
      所以实数集 \(\mathbb{R}\) 可数。
  

实数集可数的证明（三）

      设区间 \(\left( 0{,}1\right)\) 的任一实数为：\(0.a_1a_2\cdots\) ；
      因为 \(0.a_1a_2\cdots\) 至少可与二个自然数 \(a_1a_2\cdots.0\wedge\cdots a_2a_1.0\) 建立一一对应：\[f:0.a_1a_2\cdots\longleftrightarrow\begin{cases}
a_1a_2\cdots.0\in\mathbb{N}\\
\cdots a_2a_1.0\in\mathbb{N}
\end{cases}\]
      例如\[f:0.499\cdots\longleftrightarrow\begin{cases}
499\cdots.0\in\mathbb{N}\\
\cdots994.0\in\mathbb{N}
\end{cases}\]
      所以任一实数 \(0.a_1a_2\cdots\) 都是可数的；
      所以 \(\left( 0{,}1\right)\) 是可数的。
      所以实数集 \(\mathbb{R}\) 是可数的。

实数集可数的证明（四）

      设区间 \(\left( 0{,}1\right)\) 的任意 \(n\) 位小数集为：\(\left\{ 0.a_1a_2\cdots a_n\right\}_{n=1}^{\ \infty}\) ；
      因为 \(\left\{ 0.a_1a_2\cdots a_n\right\}_{n=1}^{\ \infty}\) 的基数（元素的个数）只是 \(10^n-1\) ： \[\left| \left\{ 0.a_1a_2\cdots a_n\right\}_{n=1}^{\ \infty}\right|=10^n-1\]
      例如\[\left| \left\{ 0.a_1a_2\right\}=\left\{ 0.01{,}0.02{,}\cdots{,}0.99\right\}\right|=10^2-1\]
      所以区间 \(\left( 0{,}1\right)\) 的任一 \(n\) 位小数集都是可数的；
      所以  \(\left( 0{,}1\right)\) 可数，当 \(n\to\infty\) 时：  \[\left| \left( 0{,}1\right)\right|=\dot{9}\]
      所以实数集 \(\mathbb{R}\) 是可数的。

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作者: elim    时间: 2024-8-4 08:44
因为楼主不识数，所以没啥不可数。不过\(\aleph=2^{\aleph_0}\)

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作者: APB先生    时间: 2024-8-4 08:49


傻瓜elim: 万物可数 ！！实数也可数 ！！不可数的不能与 1 对等的实数是不存在的 ！！

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作者: elim    时间: 2024-8-4 09:10


学渣 jzkyllcjl，范副，hxl268, APB,  谢邪，白仙鹤，李利浩，主楞都这么说。
蠢疯不好说，但它在脑残方面不输给任何学渣。

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作者: APB先生    时间: 2024-8-4 10:32
elim：你若能写出不可数的三个实数来，我就服你 ！如果你连不可数的一个实数也写不出来，就只能说明你是完全错误的，你就要老老实实的痛改前非。

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作者: elim    时间: 2024-8-4 10:35

APB先生 发表于 2024-8-3 19:32
elim：你若能写出不可数的三个实数来，我就服你 ！如果你连不可数的一个实数也写不出来，就只能说明你是完 ...

你根本不知道什么是可数。

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作者: APB先生    时间: 2024-8-4 11:28

elim 发表于 2024-8-4 10:35
你根本不知道什么是可数。

      楼上的 elim 怂了，不敢回答我 5 楼的问题，胡扯别的废话了。
      可数：与 \(\mathbb{N}\) 对等、可与自然数集 \(\mathbb{N}\) 建立一一对应。

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作者: APB先生    时间: 2024-8-4 14:45
先回答我 5 楼的问题。

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作者: elim    时间: 2024-8-4 15:39

APB先生 发表于 2024-8-3 23:45
先回答我 5 楼的问题。

三个数不可数的问题，不懂何谓可数的人才题得出来．

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作者: APB先生    时间: 2024-8-5 17:11


不可数集是不存在的，是没有元素的, 因此 elim 一个也写不出的，谁也写不出来。区间 \(\left( 0{,}\ 1\right)\)  的全体实数的个数就是连续统基数 \(c\in\mathbb{N}\)。

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作者: elim    时间: 2024-8-5 21:25

APB先生 发表于 2024-8-5 02:11
不可数集是不存在的，是没有元素的, 因此 elim 一个也写不出的，谁也写不出来。区间 \(\left( 0{,}\ 1\righ ...

\(\mathscr{P}(\mathbb{N})\)显然与\(\mathbb{N}\) 不对等因而不可数．
楼主卖什么楞？

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作者: elim    时间: 2024-8-5 21:50
干吗要骗自己懂实数理论，懂集论呢？ 堂堂正正活着难受吗？

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作者: APB先生    时间: 2024-8-6 07:33

elim 发表于 2024-8-5 21:25
\(\mathscr{P}(\mathbb{N})\)显然与\(\mathbb{N}\) 不对等因而不可数．
楼主卖什么楞？

是的！P(N) 是与 N 不对等；但是 P(N) 与 \(N+N\ +N+\cdots\cdots\) 对等；因此 P(N) 是可数的。

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作者: APB先生    时间: 2024-8-6 10:15

elim 发表于 2024-8-6 09:26
什么是 N+N+N+\cdorts,? 为什么它是可数的？

\(N+N+\cdots\) 是无限多个自然数集 \(N\) 的和集。

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作者: elim    时间: 2024-8-6 10:17

APB先生 发表于 2024-8-5 19:15
\(N+N+\cdots\) 是无限多个自然数集 \(N\) 的和集。

什么叫无穷多个自然数集的合集？

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作者: elim    时间: 2024-8-6 10:17

APB先生 发表于 2024-8-5 16:33
是的！P(N) 是与 N 不对等；但是 P(N) 与 \(N+N\ +N+\cdots\cdots\) 对等；因此 P(N) 是可数的。

既然 \(N+N+N+\cdots\) 与  \(\mathscr{P}(\mathbb{N})\) 对等，它就不是可数的，因为对等关系是等价关系
并且 \(\mathscr{P}(\mathbb{N})\) 与 \(\mathbb{N}\) 不对等。

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作者: APB先生    时间: 2024-8-6 10:43

elim 发表于 2024-8-6 10:17
既然 \(N+N+N+\cdots\) 与  \(\mathscr{P}(\mathbb{N})\) 对等，它就不是可数的，因为对等关系是等价关 ...

只许 N 的子集组成新集 P(N)，不许 N 自身组成新集 N+N+…… 是不成立的 。N 有相同的无限个，不是一个，N+N=N 是错误的。

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作者: 痛打落水狗    时间: 2024-8-6 10:50
看来你和曹老嫖是同道中人。那就应当拿曹老嫖的标准来要求你。你不是说实数集“可数”吗？行啊，曹老嫖经常说要在“实践”上“操作到底”，那就麻烦你操作操作，把实数都给按顺序数出来给大家看看，数不到底不准停，曹老嫖负责监督。怎么样，能行吗？

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作者: APB先生    时间: 2024-8-6 20:52

APB先生 发表于 2024-8-6 10:43
只许 N 的子集组成新集 P(N)，不许 N 自身组成新集 N+N+…… 是不成立的 。N 有相同的无限个，不是一个， ...

      设 \(A=\left\{ 1{,}\ 2{,}\ 3\right\}{,}\ A\cup A=A\cap A=\left\{ 1{,}\ 2{,}\ 3\right\};\ \ \ \ A\oplus A=\left\{ 1{,}2{,}3{,}1{,}2{,}3\right\}\ne A\)

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作者: APB先生    时间: 2024-8-6 21:37
       可能是由于人类都有十指，所以人类在屈指可数事物时，总是用十指（以 10 为单位）去数，当十指不够用时，就多次用十指去数，直至数清事物为止；同样道理，当用一个自然数集 N 去与一个[0,1] 建立一一对应时，假如不够用，就可以用多个自然数集 N 去与 一个[0,1] 建立一一对应，直至数清为止。其实不必要。\[\left\{ \frac{1}{10^n}{,}\ \ \frac{2}{10^n}{,}\ \cdots{,}\ \frac{10^n-1}{10^n}\right\}_{n=0}^{\ \infty}\ \ \Leftrightarrow\ \left\{ 1{,}\ 2{,}\ \cdots{,}\ 10^n-1\right\}_{n=0}^{\ \infty}\]

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作者: APB先生    时间: 2024-8-8 15:09
\[R\ \leftrightarrow\ \left\{ N{,}\ N{,}\ \cdots\right\}\]

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作者: APB先生    时间: 2024-8-9 07:54
        数学中的集合，都是由一个个可列可数的数组成的，这些数包含：自然数，整数，小数，函数，复数，等等。

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作者: APB先生    时间: 2024-8-12 20:04
\[M=\left\{ N{,}\ N{,}\ \cdots\right\}\ 是可数集系\]

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作者: APB先生    时间: 2024-8-14 08:15

万物可数！万数更可数！数学中的任一数如 \(x\) 都可与 1 对等\[x\ \leftrightarrow\ 1\]，因此任一数集都可数，不可数集是不存在的。elim 需要懂数和诚实，才会被尊重。

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作者: elim    时间: 2024-8-14 08:30

APB先生 发表于 2024-8-13 17:15
万物可数！万数更可数！数学中的任一数如 \(x\) 都可与 1 对等\[x\ \leftrightarrow\ 1\]，因此任一数集 ...

APB 后生不要猴急，数学问题不是靠啼猿声搞定的。你需要学会说理，数学社会才会理你。
否则你发的文章只能被无视。像 jzkyllcjl 那样。这是铁律。

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作者: APB先生    时间: 2024-8-18 20:13
      数学社会已经被康托尔谎言——实数集不可数、康托尔伪证——对角线法证明，洗脑 100 多年了。没救了。

      实数集 R 的任意多个实数都永远可数 ！！不可数的任意实数永远是不存在的 ！！

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作者: elim    时间: 2024-8-18 21:38
APB 跟 jzkyllcjl, hxl268 等人一样，只会啼猿声，不会说理论证．

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作者: APB先生    时间: 2024-8-19 09:13

elim 发表于 2024-8-18 21:38
APB 跟 jzkyllcjl, hxl268 等人一样，只会啼猿声，不会说理论证．

实数集 R 的任意多个实数都永远可数 ！！不可数的任意实数永远是不存在的 ！！

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作者: elim    时间: 2024-8-19 12:42
APB 的东西只能用来自海和显摆愚蠢．活该被数学社会蔑视．

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作者: APB先生    时间: 2024-8-24 12:34
\[\left| \left( 0{,}\ 1\right)\right|=\left| \left\{ \frac{1}{10^n}{,}\frac{2}{10^n}{,}\cdots{,}\frac{10^n-1}{10^n}\right\}_{n=1}^{\ \infty}\right|\]

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作者: APB先生    时间: 2024-10-6 20:25
任意多个实数的集合都是可数集。实数集不可数定理是世纪谎言 ！！

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作者: APB先生    时间: 2024-10-15 09:45

      说 1 个实数如 \(x_1\) 不可数的人是骗子；
      说 n 个实数如 \(x_1{,}\ x_2{,}\ \cdots{,}\ x_n\) 不可数的人是骗子；
      说 n+1 个实数如 \(x_1{,}\ x_2{,}\ \cdots{,}\ x_n{,}\ x_{n+1}\) 不可数的人是骗子；
      …………
      说实数集如区间 \(\left[ \left( 0{,}\ 1\right)\right]\) 不可数的人都是大骗子；其所谓的对角线法证明是伪证。

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作者: APB先生    时间: 2024-10-15 20:23


      区间 \(\left( 0{,}\ 1\right)\) 的全体实数集是可数集 ；因为它们能够与自然数集 \(\left\{ 1{,}\ 2{,}\ \cdots{,}\ 10^{n\to\infty}-1\right\}\) 建立一一对应：
\[\left| \left( 0{,}\ 1\right)\right|=\left| \left\{ \frac{1}{10^n}{,}\frac{2}{10^n}{,}\cdots{,}\frac{10^n-1}{10^n}\right\}_{n=1}^{\ \infty}\right|\]

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作者: APB先生    时间: 2024-10-16 09:15


      \(\left( 0{,}\ 1\right)\supset\left\{ 0.1{,}\ 0.2{,}\ \cdots{,}\ 0.9\right\}\ \ \) 可数；
      \(\left( 0{,}\ 1\right)\supset\left\{ 0.01{,}\ 0.02{,}\ \cdots{,}\ 0.99\right\}\ \ \) 可数；
      …………
      \(\left( 0{,}\ 1\right)\supset\left\{ 0.\dot{0}1{,}\ 0.\dot{0}2{,}\ \cdots{,}\ 0.\dot{9}9\right\}\ \ \) 可数；\[1=0.\dot{0}1+0.\dot{9}9{,}\ \ \ \ \ \ \left\{ \dot{0}=000\cdots\right\}\ \sim\ \left\{ \dot{9}=999\cdots\right\}\] \(0.\dot{0}1\ \) 叫做：无穷小小数 ；\(0.\dot{9}9\) 叫做：无穷大小数。

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作者: elim    时间: 2024-10-16 14:36
A P B后生的东西其实与楞种的尿床地图没有太大区别．
活该被数学社会永久无视．

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作者: APB先生    时间: 2024-10-17 20:09
      \(\left( 0{,}\ 1\right)\supset\left\{ 0.1{,}\ 0.2{,}\ \cdots{,}\ 0.9\right\}\ \ \) 可数；
      \(\left( 0{,}\ 1\right)\supset\left\{ 0.01{,}\ 0.02{,}\ \cdots{,}\ 0.99\right\}\ \ \) 可数；
      …………
      \(\left( 0{,}\ 1\right)\supset\left\{ 0.\dot{0}1{,}\ 0.\dot{0}2{,}\ \cdots{,}\ 0.\dot{9}9\right\}\ \ \) 可数；\[1=0.\dot{0}1+0.\dot{9}9{,}\ \ \ \ \ \ \left\{ \dot{0}=000\cdots\right\}\ \sim\ \left\{ \dot{9}=999\cdots\right\}\] \(0.\dot{0}1\ \) 叫做：无穷小小数 ；\(0.\dot{9}9\) 叫做：无穷大小数。

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作者: APB先生    时间: 2024-10-22 10:07
      \(\left[ 0{,}1\right]\ \ 的\ \left\{ 1\right\}\ \ \) 是可数集 ！
      \(\left[ 0{,}1\right]\ \ 的\ \left\{ 0.1{,}\ 0.2{,}\ \cdots{,}\ 0.9\right\}\ \ \) 是可数集 ！
      \(\left[ 0{,}1\right]\ \ 的\ \left\{ 0.01{,}\ 0.02{,}\ \cdots{,}\ 0.99\right\}\ \ \) 是可数集 ！
      ……………………
      \(\left[ 0{,}1\right]\ \ 的\ \left\{ 0.\dot{0}1{,}\ 0.\dot{0}2{,}\ \cdots{,}\ 0.\dot{9}9\right\}\ \ \) 是可数集 ！
      因此 \(\left[ 0{,}1\right]\ 是\) 可数集。
\[0.\dot{0}1\ \prec\ 0.\dot{9}9\]
      

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作者: APB先生    时间: 2024-10-22 10:07
      \(\left[ 0{,}1\right]\ \ 的\ \left\{ 1\right\}\ \ \) 是可数集 ！
      \(\left[ 0{,}1\right]\ \ 的\ \left\{ 0.1{,}\ 0.2{,}\ \cdots{,}\ 0.9\right\}\ \ \) 是可数集 ！
      \(\left[ 0{,}1\right]\ \ 的\ \left\{ 0.01{,}\ 0.02{,}\ \cdots{,}\ 0.99\right\}\ \ \) 是可数集 ！
      ……………………
      \(\left[ 0{,}1\right]\ \ 的\ \left\{ 0.\dot{0}1{,}\ 0.\dot{0}2{,}\ \cdots{,}\ 0.\dot{9}9\right\}\ \ \) 是可数集 ！
      因此 \(\left[ 0{,}1\right]\ 是\) 可数集。
\[0.\dot{0}1\ \prec\ 0.\dot{9}9\]
      

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作者: APB先生    时间: 2024-10-23 13:43


      \(\left[ 0{,}1\right]\ \ 的\ \left\{ 1\right\}\ \ \) 是可数集 ！可与 1 对等 ！
      \(\left[ 0{,}1\right]\ \ 的\ \left\{ 0.1{,}\ 0.2{,}\ \cdots{,}\ 0.9\right\}\ \ \) 是可数集 ！可与 \(1{,}\ 2{,}\ \cdots\) 对等 ！
      \(\left[ 0{,}1\right]\ \ 的\ \left\{ 0.01{,}\ 0.02{,}\ \cdots{,}\ 0.99\right\}\ \ \) 是可数集 ！可与 \(1{,}\ 2{,}\ \cdots\) 对等 ！
      ……………………
      \(\left[ 0{,}1\right]\ \ 的\ \left\{ 0.\dot{0}1{,}\ 0.\dot{0}2{,}\ \cdots{,}\ 0.\dot{9}9\right\}\ \ \) 是可数集 ！可与 \(1{,}\ 2{,}\ \cdots\) 对等 ！
      因此 \(\left[ 0{,}1\right]\ 是\) 可数集：\[\left| \left[ 0{,}\ 1\right]\right|\ \sim\ \left| N\right|\]

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作者: APB先生    时间: 2024-10-29 10:58
      区间 \(\left( 0{,}\ 1\right)\) 的任意位实数都肯定能与自然数建立一一对应：\[\left\{ \frac{1}{10^n}{,}\ \frac{2}{10^n}{,}\ \cdots{,}\ \frac{10^n-1}{10^n}\right\}\ \Longleftrightarrow\ \left\{ 1{,}\ 2{,}\ \cdots{,}\ 10^n\right\}{,}\ \ \ \ \ \ n\in N\]

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作者: elim    时间: 2024-10-29 23:11
后生APB 举了很多例子说明 (0,1) 的可数子集是可数的。然后呢？

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作者: APB先生    时间: 2024-10-30 09:00
      然后说明 (0,1) 没有任何不可数子集；康托尔的实数集不可数定理是谎言。

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作者: elim    时间: 2024-10-30 16:24

APB先生 发表于 2024-10-29 18:00
然后说明 (0,1) 没有任何不可数子集；康托尔的实数集不可数定理是谎言。

怎么说明？为什么给不出有关证明？

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作者: APB先生    时间: 2024-10-30 20:38

elim 发表于 2024-10-30 16:24
怎么说明？为什么给不出有关证明？

      根据考古资料可知：人类认识到一般事物都具有可数性，已有数万年的历史了；可能是由于人的一只手有五个指头的缘故，约在三万年前，人类就已经会用五道刻痕 ||||| 为一组来刻出其它数了；……； 可以说：万物可数是公理、或一般事物都具有可数性是公理，是人类在长达数万年的生产和生活的实践中总结出来的基本数学常识，是不需要证明的。

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作者: elim    时间: 2024-10-31 03:15

APB先生 发表于 2024-10-30 05:38
根据考古资料可知：人类认识到一般事物都具有可数性，已有数万年的历史了；可能是由于人的一只手有 ...

APB 后生这么轻易就抛弃他前面那些帖子了？恭喜总算知道 (0,1) 的可数子集可数是废话了。
考古？考出来的集合大都是有限集。自然可数。

再次领教后生程度如此，还这么自以为是。

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作者: APB先生    时间: 2024-11-2 09:37

elim 老生：假如万物可数、实数集可数是公理，当然不需要证明了；这么浅显的道里，你不懂吗？？

       任意多个实数的集合都是可数集 ！！

       我断言：尽管 elim 一辈子信奉 [0,1] 是不可数集；但是他至死也写不出  [0,1] 的不可数的任意一个实数来；因为  [0,1] 根本就没有不可数的任意一个实数。

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作者: APB先生    时间: 2024-11-3 20:32

      你是废话连篇 ！！
   
      实数集不可数是康托尔编造的世纪谎言 ！！其对角线法证明是伪证 ！！因为其证明都是建立在伪等式\[0.5=0.499\cdots\]之上的；因为\[0.5=0.\dot{0}1+0.4\dot{9}\]\[\ \ 0<\ 0.\dot{0}1\ \prec\ 0.4\dot{9}\ <0.5\]

      你总是拿谎言 [0 ,1] 是不可数集来骗人，你却拿不出 [0 ,1] 的任意一个不可数的实数来，你真是厚颜无耻之人。

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作者: APB先生    时间: 2024-11-5 09:22
      elim 长期迷信 [0, 1] 是不可数集，却给不出任意一个不可数的实数来，实在让人笑掉大牙。

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作者: APB先生    时间: 2024-11-6 10:06

elim 发表于 2024-11-5 22:46
APB竟然认为【(0,1)不可数】\(\implies\)【存在某不可数的实数】！
说明他根本不懂何谓可数性．就是个集 ...

      elim 长期宣传 [0, 1] 是不可数集，他却根本拿不出一个不可数的实数来做例证，更别提可信的证明了，他把康托尔的对角线法伪证当真理；这说明他就是个不懂万物可数性的傻瓜 ！！

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作者: elim    时间: 2024-11-7 10:02

APB先生 发表于 2024-11-1 18:37
elim 老生：假如万物可数、实数集可数是公理，当然不需要证明了；这么浅显的道里，你不懂吗？？...

间可数不可数是从集合的对等不对等以及自然数集的定义来的．
你有胡乱定'公理'的自由，他人有把你的东西当母理不屑的理由．
因为你的东西与正经有意义的数学矛盾．

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作者: APB先生    时间: 2024-11-8 11:11

\[1\ \Rightarrow\left\{ 1{,}\ 1{,}\ \cdots\right\};\ \ \ 2\Rightarrow\left\{ 2{,}\ 2{,}\ \cdots\right\};\ \cdots\ ;\ N\Rightarrow\left\{ N{,}\ N{,}\ \cdots\right\}\]
全体自然数集 N 有任意的无穷多个、超穷多个、……、。

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作者: APB先生    时间: 2024-11-10 20:27

奴才+井蛙 elim：  
       你既然认为 [0, 1] 是不可数集，那么 [0, 1] 就必须全部由不可数的元素所组成！！而客观事实是：[0, 1] 中的每一个有理数或无理数都是可与自然数 1 建立一一对应的。因此你就是替康托尔圆谎的数学奴才。
       你不懂得存在有穷大自然数如 \(321.0\) ，就必然存在无穷大自然数如 \(\cdots321321.0=\dot{3}2\dot{1}.0\) ；因此你就是数学井蛙。

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作者: APB先生    时间: 2024-11-11 17:02

elim 发表于 2024-11-11 02:15
APB 与首席孬种谁更笨不好说．都是集论白痴，而APB 不知道何渭可数性．

      elim 的集论水平高，却不懂 [0 ,1] 的 1 是可数的，也不懂 [0 ,1] 的 0.1、0.2、0.3 是可数的；否则怎么会认为 [0,1] 是不可数集呢 ？？
      根据对立统一规律可知：存在有穷大自然数，就必然存在无穷大自然数；存在无穷大自然数，就必然存在超穷大自然数；……
\[321.0\Rightarrow\dot{3}2\dot{1}.0\Rightarrow\dot{\dot{3}}2\dot{\dot{1}}.0\Rightarrow\cdots\]

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作者: APB先生    时间: 2024-11-15 20:09
      elim 的集论水平高，却不懂 [0 ,1] 的 1 是可数的，也不懂 [0 ,1] 的 0.1、0.2、0.3 是可数的；否则怎么会长期迷信 [0,1] 是不可数集呢 ？？
      根据对立统一规律可知：存在有穷大自然数，就必然存在无穷大自然数；存在无穷大自然数，就必然存在超穷大自然数；……
\[321.0\Rightarrow\dot{3}2\dot{1}.0\Rightarrow\dot{\dot{3}}2\dot{\dot{1}}.0\Rightarrow\cdots\]

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作者: APB先生    时间: 2024-11-16 16:47

说实数集不可数才是重大的胡扯八道，因为不可数的任意一个实数都是不存在的。

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作者: APB先生    时间: 2024-11-18 20:20
elim 居然不懂 [0,1] 的 1 的可数性、不懂 [0,1] 的 \(\left\{ 0.1{,}\ 0.2{,}\ \cdots\right\}\)
的可数性、…… ，因此他一辈子傻信 [0,1] 是不可数集。

elim ：[0,1] 绝对是可数集！你至死也举不出 1 个反例！也即你至死也举不出 1 个不可数的任意实数！

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作者: APB先生    时间: 2024-11-19 09:44

elim 发表于 2024-11-18 21:48
APB 与首席孬种谁更笨不好说．都是集论白痴，而APB 不知道何渭可数性．
所以它有关可数性的所有帖子只 ...

elim ：
         你迷信 [0,1] 是不可数集，我及任何人都可以举出任意多个可数的反例，都会戳穿你自欺欺人的谎言——[0,1] 是不可数集。
         我断言 [0,1] 绝对是可数集！而你却至死也举不出 1 个不可数的反例，更不会承认自己是错误的，只能胡扯一些无关的空话。
         我只在乎实数可不可数，不在乎人们无不无视。

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作者: APB先生    时间: 2024-11-20 11:45


\[\forall0.a_1a_2\cdots\in\left[ 0{,}1\right]{,}\ \ \exists0.a_1a_2\cdots\ \longleftrightarrow\cdots a_2a_1.0\in N\]\[f:0.a_1a_2\cdots\to\cdots a_2a_1.0\]

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作者: elim    时间: 2024-11-21 09:15

APB先生 发表于 2024-11-19 20:45
\[\forall0.a_1a_2\cdots\in\left[ 0{,}1\right]{,}\ \ \exists0.a_1a_2\cdots\ \longleftrightarrow\cdots ...

现在知道，首席孬种蠢疯顽瞎并不比 APB 种更孬.  它认为 \(\dot 9.0\in\mathbb{N}\).

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作者: APB先生    时间: 2024-11-23 20:29
\[\left| \left( 0{,}1\right)\right|<\left| \left\{ N{,}\ N{,}\ \cdots\right\}\right|\]用自然数集 N 去与区间 (0,1) 的成员建立一一对应时，如果一个 N 不够用，完全可以用任意多个 N ，N 是取之不尽用之不竭的。

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作者: APB先生    时间: 2024-11-24 20:22
       井蛙 elim ：你一辈子迷信区间 [0,1] 是不可数集，确实是被人类数学重视吗 ？？你检索了百年内世界各国的全部数学了吗？？遗憾的是：全人类数学界的任何人无论何时何地都不能给出一个不可数的实数来，因此区间 [0,1] 是不可数集不成立 ！！是骗人的谎言 ！！

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作者: elim    时间: 2024-11-25 00:15

APB先生 发表于 2024-11-24 05:22
井蛙 elim ：你一辈子迷信区间 [0,1] 是不可数集，确实是被人类数学重视吗 ？？你检索了百年内世界 ...

我早就说过，你APB 与人类数学没有赖以对话的共同语言．
在这个意义上你是不可理喻的，不可教育好的．
活该不论你咋样扑腾，写信给院士等等一概白搭．

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作者: APB先生    时间: 2024-11-26 09:45

elim 发表于 2024-11-25 00:15
我早就说过，你APB 与人类数学没有赖以对话的共同语言．
在这个意义上你是不可理喻的，不可教育好的．
...

智者千虑必有一失！全体院士们永远不可能穷尽数学真理、包揽数学真理！而真理往往是在少数人手里！院士们的千虑一失就是：是非颠倒和自欺欺人的认为实数集是不可数的，却不知不可数的实数是一个也不存在，永远也不会存在。

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作者: APB先生    时间: 2024-11-27 08:54


      当 \(\ n\to\infty\) 时，区间 ( 0,1] 十进制全体实数的个数公式\[\left| \left( 0{,}1\right]\right|=\left| \left\{ \frac{1}{10^n}{,}\ \frac{2}{10^n}{,}\ \cdots{,}\ \frac{10^n-1}{10^n}{,}\ 1\right\}_{n=1}^{\ \infty}\right|\]

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作者: elim    时间: 2024-11-27 08:56

APB先生 发表于 2024-11-24 05:22
井蛙 elim ：你一辈子迷信区间 [0,1] 是不可数集，确实是被人类数学重视吗 ？？你检索了百年内世界 ...

？
天下的智者都恰巧没注意到你APB的胡扯中必有些许道理？哈哈
我早就说过，你APB 与人类数学没有赖以对话的共同语言．
在这个意义上你是不可理喻的，是不可教育好的．活该不
论你咋样扑腾，写信给院士等等一概白搭．

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作者: APB先生    时间: 2024-11-27 09:18


当 \(\ n\to\infty\) 时，区间 ( 0,1] 十进制全体实数的个数公式\[\left| \left( 0{,}1\right]\right|=\left| \left\{ \frac{1}{10^n}{,}\ \frac{2}{10^n}{,}\ \cdots{,}\ \frac{10^n-1}{10^n}{,}\ 1\right\}\right|=10^n\]无论用任意的 a 进制将区间 (0,1] 分为任意多个实数，它们都是可数的: \[\left| \left( 0{,}1\right]\right|=\left| \left\{ \frac{1}{a^n}{,}\ \frac{2}{a^n}{,}\ \cdots{,}\ \frac{a^n-1}{a^n}{,}\ 1\right\}\right|=a^n{,}\ \ \ \ a\wedge n=1{,}\ 2{,}\ \cdots\]

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作者: elim    时间: 2024-11-28 10:30
[size]楼上这种东西比主楞的夜尿的印象派床单还扯

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作者: APB先生    时间: 2024-11-28 20:02


      区间 [0,1] 中可数实数集的基数公式：\[\left| \left( 0{,}1\right]\right|=\left| \left\{ \frac{1}{a^n}{,}\ \frac{2}{a^n}{,}\ \cdots{,}\ \frac{a^n-1}{a^n}{,}\ 1\right\}\right|=a^n;\ \ \ \ a\wedge n=1{,}2{,}\cdots.\]
      区间 [0,1] 中不可数实数集的基数公式：\[\left| \left( 0{,}1\right]\right|\equiv0\]

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作者: APB先生    时间: 2024-12-1 20:10
当 \(\ n\to\infty\) 时，区间 ( 0,1] 十进制全体实数的个数公式为：\[\left| \left( 0{,}1\right]\right|=\left| \left\{ \frac{1}{10^n}{,}\ \frac{2}{10^n}{,}\ \cdots{,}\ \frac{10^n-1}{10^n}{,}\ 1\right\}\right|=10^n\]无论用任意的 a 进制将区间 (0,1] 分为任意多个实数，它们都是可数的: \[\left| \left( 0{,}1\right]\right|=\left| \left\{ \frac{1}{a^n}{,}\ \frac{2}{a^n}{,}\ \cdots{,}\ \frac{a^n-1}{a^n}{,}\ 1\right\}\right|=a^n{,}\ \ \ \ a\wedge n=1{,}\ 2{,}\ \cdots\]

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作者: APB先生    时间: 2024-12-1 20:12


当 \(\ n\to\infty\) 时，区间 ( 0,1] 十进制全体实数的个数公式为：\[\left| \left( 0{,}1\right]\right|=\left| \left\{ \frac{1}{10^n}{,}\ \frac{2}{10^n}{,}\ \cdots{,}\ \frac{10^n-1}{10^n}{,}\ 1\right\}\right|=10^n{,}\ \ \ \ \ n=1{,}2{,}\cdots{,}\ \to\infty\]无论用任意的 a 进制将区间 (0,1] 分为任意多个实数，它们都是可数的: \[\left| \left( 0{,}1\right]\right|=\left| \left\{ \frac{1}{a^n}{,}\ \frac{2}{a^n}{,}\ \cdots{,}\ \frac{a^n-1}{a^n}{,}\ 1\right\}\right|=a^n{,}\ \ \ \ a\wedge n=1{,}\ 2{,}\ \cdots\]

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作者: elim    时间: 2024-12-1 20:47
还是那句话：你APB的意淫活该被人类数学无视·
连你自己不知道在说什么．你的东西跟【肿化蛋伟楞】
没有区别．

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作者: APB先生    时间: 2024-12-7 08:21


区间 ( 0,1] 十进制全体可数实数的个数公式为：\[\left| \left( 0{,}1\right]\right|=\left| \left\{ \frac{1}{10^n}{,}\ \frac{2}{10^n}{,}\ \cdots{,}\ \frac{10^n-1}{10^n}{,}\ 1\right\}\right|=10^n{,}\ \ \ \ \ n=1{,}2{,}\cdots{,}\ \to\infty\]任意 a 进制区间 (0,1] 全体可数实数公式：: \[\left| \left( 0{,}1\right]\right|=\left| \left\{ \frac{1}{a^n}{,}\ \frac{2}{a^n}{,}\ \cdots{,}\ \frac{a^n-1}{a^n}{,}\ 1\right\}\right|=a^n{,}\ \ \ \ a\wedge n=1{,}\ 2{,}\ \cdots\]

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作者: elim    时间: 2024-12-7 08:49
给你两年，让你看看人类数学有没有办法认可你的自嗨怎样？

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作者: APB先生    时间: 2024-12-8 20:45
区间 ( 0,1] 十进制全体可数实数的个数公式为：\[\left| \left( 0{,}1\right]\right|=\left| \left\{ \frac{1}{10^n}{,}\ \frac{2}{10^n}{,}\ \cdots{,}\ \frac{10^n-1}{10^n}{,}\ 1\right\}\right|=10^n{,}\ \ \ \ \ n=1{,}2{,}\cdots{,}\ \to\infty\]
区间 ( 0,1] a 进制全体可数实数的个数公式为\[\left| \left( 0{,}1\right]\right|=\left| \left\{ \frac{1}{a^n}{,}\ \frac{2}{a^n}{,}\ \cdots{,}\ \frac{a^n-1}{a^n}{,}\ 1\right\}\right|=a^n{,}\ \ \ \ a\wedge n=1{,}\ 2{,}\ \cdots{,}\ \to\infty\]

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作者: APB先生    时间: 2024-12-19 20:04
区间 (0,1] 是可数集！畜生不如的 elim 是不会懂这个道理的。
区间 ( 0,1] 十进制全体可数实数的个数公式为：\[\left| \left( 0{,}1\right]\right|=\left| \left\{ \frac{1}{10^n}{,}\ \frac{2}{10^n}{,}\ \cdots{,}\ \frac{10^n-1}{10^n}{,}\ 1\right\}\right|=10^n{,}\ \ \ \ \ n=1{,}2{,}\cdots{,}\ \to\infty\]
区间 ( 0,1] a 进制全体可数实数的个数公式为\[\left| \left( 0{,}1\right]\right|=\left| \left\{ \frac{1}{a^n}{,}\ \frac{2}{a^n}{,}\ \cdots{,}\ \frac{a^n-1}{a^n}{,}\ 1\right\}\right|=a^n{,}\ \ \ \ a\wedge n=1{,}\ 2{,}\ \cdots{,}\ \to\infty\]

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作者: APB先生    时间: 2024-12-31 08:00
区间 (0,1] 是可数集！畜生不如的 elim 已经被最傻歪理——实数集不可数——终生洗脑，是不会懂这个道理的。
区间 ( 0,1] 十进制全体可数实数的个数公式为：\[\left| \left( 0{,}1\right]\right|=\left| \left\{ \frac{1}{10^n}{,}\ \frac{2}{10^n}{,}\ \cdots{,}\ \frac{10^n-1}{10^n}{,}\ 1\right\}\right|=10^n{,}\ \ \ \ \ n=1{,}2{,}\cdots{,}\ \to\infty\]
区间 ( 0,1] a 进制全体可数实数的个数公式为：\[\left| \left( 0{,}1\right]\right|=\left| \left\{ \frac{1}{a^n}{,}\ \frac{2}{a^n}{,}\ \cdots{,}\ \frac{a^n-1}{a^n}{,}\ 1\right\}\right|=a^n{,}\ \ \ \ a\wedge n=1{,}\ 2{,}\ \cdots{,}\ \to\infty\]

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作者: APB先生    时间: 2024-12-31 08:27
区间\(\left( 0{,}1\right]\)的不可数实数的个数为零。

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作者: APB先生    时间: 2025-1-14 15:35
      区间\(\left( 0{,}\ 1\right)\)的每一个有限或无限的纯小数 \(0.\ a_1a_2\cdots\) 都对应着一个有限或无限的自然数 \(\cdots a_2a_1.0\) ：\[\cdots a_2a_1.0\longleftrightarrow0.a_1a_2\cdots\]因此 \(\left( 0{,}\ 1\right)\) 是可数的。

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作者: APB先生    时间: 2025-1-14 20:30
      区间\(\left( 0{,}\ 1\right)\)的每一个有限或无限的纯小数 \(0.\ a_1a_2\cdots\) 都对应着一个有限或无限的自然数 \(\cdots a_2a_1.0\) ：\[\cdots a_2a_1.0\longleftrightarrow0.a_1a_2\cdots\]
      例 1 \[994.0\longleftrightarrow0.499\]
      例 2 \[\cdots\cdots994.0\longleftrightarrow0.499\cdots\cdots\]
      因此 \(\left( 0{,}\ 1\right)\) 是可数的，其全体小数都是可与自然数集 \(N\) 建立 1-1 对应的。
      康托尔的实数集不可数是世纪谎言，其对角线法证明是丢失了大量的无穷小小数 \(0.\dot{0}1\) 的欺世伪证。
      万物可数！万物的可数性是数学的第一重要的性质；否则已有数学的加减乘除微积分，都不可能成立。
      万物的可数性也是万物存在的第一重要的条件；任何不可数的事物都是不存在的。
       elim 畜生不如的至死迷信实数集不可数，却终生不能给出不可数的任意一个实数来，真是可怜又可恨，害人又害己。

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作者: elim    时间: 2025-1-14 23:57

APB先生 发表于 2024-12-8 05:45
区间 ( 0,1] 十进制全体可数实数的个数公式为：\[\left| \left( 0{,}1\right]\right|=\left| \left\{ \frac ...

APB持有畜生不如的"全体"概念及"可数"概念．

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作者: APB先生    时间: 2025-1-23 09:21
      因为区间\(\left( 0{,}\ 1\right)\)的每一个有限或无限的纯小数 \(0.\ a_1a_2\cdots\) 都对应着一个有限或无限的自然数 \(\cdots a_2a_1.0\) ：\[\cdots a_2a_1.0\longleftrightarrow0.a_1a_2\cdots\]
      例 1 \[994.0\longleftrightarrow0.499\]
      例 2 \[\cdots\cdots994.0\longleftrightarrow0.499\cdots\cdots\]
      所以区间 \(\left( 0{,}\ 1\right)\) 是可数的，其全体纯小数都是可与自然数集 \(N\) 建立 1-1 对应的。
      康托尔的实数集不可数是世纪谎言，其对角线法证明是丢失了大量的无穷小小数 \(0.\dot{0}1>0\) 的欺世伪证。
      万物可数！万物的可数性是数学的第一重要的性质；否则已有数学的加减乘除微积分都不可能成立。
      万物的可数性也是万物存在的第一重要的条件；任何不可数的事物都是不存在的。

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作者: elim    时间: 2025-1-23 10:29

APB先生 发表于 2025-1-22 18:21
因为区间\(\left( 0{,}\ 1\right)\)的每一个有限或无限的纯小数 \(0.\ a_1a_2\cdots\) 都对应着一个 ...

根据peano公理，不存在无穷大自然数。所以楼上 APB 的对应不成立。
APB 应该对自己的东西遭到人类数学的无视的原因作出分析。

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作者: APB先生    时间: 2025-1-24 21:21

elim 发表于 2025-1-23 10:29
根据peano公理，不存在无穷大自然数。所以楼上 APB 的对应不成立。
APB 应该对自己的东西遭到人类数学的 ...

      虽然peano公理定义了自然数及其运算规则，构建了整个数学体系的基础。但是根据peano公理是不能证明不存在无穷大自然数的；反而是可以证明存在无穷大自然数；因为每一个自然数如 \(n\) 都有唯一的后继\(n+1\)，而唯一的后继\(n+1\)又有唯一的后继\(n+1+1\)，……，显然这一系列后继的增加是无穷无尽的，永远不会中止在任一有限自然数之上，\[n\to n+1\to n+2\to\cdots\cdots\to\infty\]所以只能会存在无穷大自然数、存在超穷大自然数、……。对于\[\dot{9}4.0=\cdots994.0\ \longleftrightarrow\ 0.499\cdots=0.4\dot{9}\]中的无穷大自然数 \(\dot{9}4.0\)你历来是视而不见，请问如果 \(\dot{9}4.0\) 不叫无穷大自然数，那它应该叫什么自然数？？另外根据对立统一规律可知，存在有限大自然数集如\(0{,}\ 1{,}\ 2{,}\ \cdots\)，就一定存在无限大自然数如\(0{,}\ \dot{1}{,}\ \dot{2}{,}\ \cdots\)，以及超限大自然数如\(0{,}\ \dot{\dot{1}}{,}\ \dot{\dot{2}}{,}\ \cdots\)，等等。

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作者: elim    时间: 2025-1-25 09:51
可数不可数是等合与\(\mathbb{N}\}对等与否的问题，不是个别数的性质．
APB这个数学白痴就这么喜欢显摆脑残？赶不上蠢疯之孬难受是吧？

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作者: elim    时间: 2025-1-25 09:51
可数不可数是等合与\(\mathbb{N}\}对等与否的问题，不是个别数的性质．
APB这个数学白痴就这么喜欢显摆脑残？赶不上蠢疯之孬难受是吧？

---

作者: elim    时间: 2025-1-25 09:52
可数不可数是等合与\(\mathbb{N}\}对等与否的问题，不是个别数的性质．
APB这个数学白痴就这么喜欢显摆脑残？赶不上蠢疯之孬难受是吧？

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作者: APB先生    时间: 2025-1-26 18:36

elim 发表于 2025-1-25 09:51
可数不可数是等合与\(\mathbb{N}\}对等与否的问题，不是个别数的性质．
APB这个数学白痴就这么喜欢显摆脑 ...

最孬 elim:
      这么浅显的道理你也傻得不懂吗？？既然自然数有无限多，就必有如下无限不等式链\[0<1<2<\cdots<n<n+1<\cdots<\dot{1}<\dot{1}+1<\cdots<\dot{2}<\dot{2}+1<\cdots<\dot{\dot{1}}<\dot{\dot{1}}+1<\cdots\]其中必有无限自然数如\(\dot{1}\)等、超限自然数\(\dot{\dot{1}}\)等，再超限自然数\(\dot{\dot{\dot{1}}}\)等。你总说别人不识数，其实你最不识数。

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作者: elim    时间: 2025-1-27 00:54
APB 跟孬种蠢疯一样，没有证明无穷自然数的存在，
只证明了自然数有无穷多并且没有最大自然数．由于
Peano 公理蕴含自然数均有限数, APB的所谓证明只
能证明他的不识数和脑残．仅此而已．

jzkyllcjl, 蠢疯顽瞎都是活到近一百岁还不识数，智力
畜生不如的实际例子．APB 后生效法他们, 下场不外
乎跟他们一样，被人类数学社会所无视．

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作者: APB先生    时间: 2025-1-27 17:51
最傻 elim:
      我说过许多次了，再说一次：每一个无限纯小数 \(0.a_1a_2\cdots\) 都对应着一个无限自然数 \(\cdots\ a_2a_1.0\)\[\cdots a_2a_1.0=f\left( 0.a_1a_2\cdots\right)=\sum_{n=1}^{\infty}0.0\cdots0a_n\times10^{2n-1}\]
      例\(\cdots51413.0=f\left( \frac{\pi}{10}\right)=f\left( 0.31415\cdots\right)\)就是一个无限自然数。
      显然这样的实例有任意多个，不需要再证明了。
      说你最傻，一是因为你不懂无限自然数，把无限自然数放在你眼前也不认识；二是因为你对不可数的实数是一辈子也拿不出一个例子来，却还要傻傻的长期的维护实数集不可数这世纪谎言。

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作者: elim    时间: 2025-1-27 23:39
0有限，若自然数n有限，则n的后继n+1亦然．
故据皮亚诺公理，没有超穷自然数．所以楼上
的给出的不是纯小数全体与\(\mathbb{N}\)的1-1对应．
不过是孬种APB犯孬而已. 过去顽石也这么弄过．
顽石提出了狗屎堆数学，对jzkyllcjl 影响很大．

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作者: APB先生    时间: 2025-1-28 16:12

elim 发表于 2025-1-27 23:39
0有限，若自然数n有限，则n的后继n+1亦然．
故据皮亚诺公理，没有超穷自然数．所以楼上
的给出的不是纯小 ...

      是的！若自然数n有限，则n的后继n+1亦然！但是这种后继的个数是无限多的：\[n\to n+1\to n+2\to\cdots\cdots\]\[\lim_{ }\left| \left\{ n+1{,}\ n+2{,}\ \cdots\cdots\right\}\right|=\infty\]

      皮亚诺公理包含：有限自然数公理、无限自然数公理、超限自然数公理、等等。

      我给出的就是每一个无限纯小数与无限自然数的 1-1 对应：\[\cdots a_2a_1.0\longleftrightarrow0.a_1a_2\cdots\]你的否认是错误的，不成立的，违背事实的。

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作者: elim    时间: 2025-1-28 20:13

APB先生 发表于 2025-1-28 01:12
是的！若自然数n有限，则n的后继n+1亦然！但是这种后继的个数是无限多的：\[n\to n+1\to n+2\to\ ...

根据皮亚诺公理后继有天穷多个，而每一个皆有限数．

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作者: APB先生    时间: 2025-1-30 20:11

elim 发表于 2025-1-28 20:13
根据皮亚诺公理后继有天穷多个，而每一个皆有限数．

假如你的理论正确，则必有最大的有限数；遗憾的是，最大的有限数是不存在的。

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作者: elim    时间: 2025-1-30 22:02

APB先生 发表于 2025-1-30 05:11
假如你的理论正确，则必有最大的有限数；遗憾的是，最大的有限数是不存在的。

不是我的理论．是皮亚诺自然数公理决定了自然数不是无穷大数，并且没有最大自然数．
你从来没有用自然数公理证明或否证过自然数的性质．你甚至不知道什么是有限数什么是无究大数．

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作者: APB先生    时间: 2025-1-31 19:59

elim 发表于 2025-1-30 22:02
不是我的理论．是皮亚诺自然数公理决定了自然数不是无穷大数，并且没有最大自然数．
你从来没有用自然数 ...

皮亚诺自然数公理决定了自然数不是有穷大自然数，就是无穷大自然数、超穷大自然数、等等；你不是一向都认为自然数都是有限的吗？？

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作者: elim    时间: 2025-1-31 23:46

APB先生 发表于 2025-1-31 04:59
皮亚诺自然数公理决定了自然数不是有穷大自然数，就是无穷大自然数、超穷大自然数、等等；你不是一向都认 ...

令 \(S=\{k\in\mathbb{N}: k \text{有限}\}\). 则\(0\in S.\,\)若\(n\in S,\)
则自然数\(n\)有限,故其自然数后继\(n’=n+1\)
亦有限, 即\(n’\in S.\) 假定APB熟悉皮亚诺公理，
不然百度一下即知公理断定所论集合\(S=\mathbb{N}.\)
这就是说没有超穷自然数．

要学会论证你的观点, 不要学畜生不如的孬种混世．

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作者: 春风晚霞    时间: 2025-2-1 10:59

一、皮亚诺公理（Peano axioms）
1、0是一个自然数：这定义了自然数系统的起点。
2、每一个确定的自然数a都有一个确定的后继数a'，且a'也是自然数：这引入了“后继”的概念，即每个数都有一个“下一个”数。
3、0不是任何自然数的后继数：这确保了自然数系统的线性结构。
4、不同的自然数有不同的后继数：即如果a ≠ b，那么S(a) ≠ S(b)。
5、归纳公理：如果一个性质对0成立，且当它对自然数n成立时对S(n)也成立，那么它对所有自然数成立。这是整个系统的核心，保证了自然数的无限性和完整性。
二、\(\mathbb{N}\)是无限集，则必有\(\infty\subset\mathbb{N}\)
【证明】:\( \because\quad\mathbb{N}\)是无限集(由于\(\mathbb{N}\)与其真子集对等，故\(\mathbb{N}\)是无限集。)
\(\quad\quad\therefore\nu=\displaystyle\lim_{n\to \infty}n\in\mathbb{N}\)(自然数集的良序性)
\(\quad\quad\therefore\nu+1=\displaystyle\lim_{n\to \infty}(n+1)\in\mathbb{N}\)( Peano axioms第二条)
\(\quad\quad\therefore\nu+2=\displaystyle\lim_{n\to \infty}(n+2)\in\mathbb{N}\)( Peano axioms第二条)
…………
\(\quad\quad\therefore\nu+j=\displaystyle\lim_{n\to \infty}(n+j)\in\mathbb{N}\)( Peano axioms第二条)
\(\quad\quad\therefore\infty\subset\mathbb{N}\)(\(\infty\)的定义)
三、elim的一切胡说八道都是为其【无穷交就是一种臭骤变】张目。其论证均为徝环论证！所以论坛诸君千万要警惕elim欺己骗人的把戏！

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作者: APB先生    时间: 2025-2-5 10:49
区间 \(\left( 0{,}1\right)\) 的任意一个有限或无限的纯小数 \(0.a_1a_2\cdots\in\left( 0{,}1\right)\)  都可与 \(1\) 对等：
\[1\longleftrightarrow0.a_1a_2\cdots\]因此区间 \(\left( 0{,}1\right)\) 是可数的；实数集是可数的；不可数的任一实数都是不存在的。因此实数集不可数是百年错误。

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作者: APB先生    时间: 2025-2-11 09:42
相同自然数集 \(N\) 有无穷多个，若集系 \(\cup N=\left\{ N{,}\ N{,}\ \cdots\right\}\) ,则显然相同自然数集 \(N\) 的等势链有无限长\[\left| N\right|=\left| N\right|=\cdots\cdots\]

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作者: APB先生    时间: 2025-2-11 19:52
区间 \(\left( 0{,}1\right)\) 的任意一个有限或无限的纯小数 \(0.a_1a_2\cdots\in\left( 0{,}1\right)\)  都可与 \(1\) 对等：
\[1\longleftrightarrow0.a_1a_2\cdots\]因此区间 \(\left( 0{,}1\right)\) 是可数的；实数集是可数的；不可数的任一实数都是不存在的。因此实数集不可数是百年错误。

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