生活中的正态分布

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生活中的正态分布

原创 一只刘狮狮 一只刘狮狮 2024 年 05 月 26 日 12:39 广东

接上篇《一文读懂正态分布》，这篇想跟大家分享生活中有趣的正态分布，它可以大到人生哲学，也可以小到生产应用和日常决策。

读完此文，你或许会发现看似高冷的数学知识，其实离生活并不遥远。



开始前，我想先跟大家分享一个跟正态分布有关的经典实验。在这个实验中，我们会直观地看到正态分布规律，也会了解到背后有启发性的人生哲理。

01 高尔顿板中的人生启示

英国科学家和探险家弗朗西斯·高尔顿（Francis Galton），是一个知识广博且有创造力的人，高尔顿板就出自他手。

高尔顿不像表哥达尔文那么家喻户晓，但当你了解他，会发现他俩其实不分伯仲，都在自己的领域闪闪发光。

高尔顿是一位多产的科学家，他的学术研究兴趣广泛，涉及领域包括人类学、地理、数学、力学、气象学、心理学和统计学等。受生物进化论思想的影响，他从遗传的角度研究个别差异形成的原因，并因此开创了优生学。为模拟和演示概率论中的正态分布现象，他发明了高尔顿板。


（高尔顿和高尔顿板   图源：百度）

高尔顿板是一种演示正态分布现象的装置，它主要由一块带有均匀分布钉子的板和滚珠组成。在这个装置中，每颗钉子都等距排列，且上一层的每颗钉子恰好位于下一层两颗钉子的正中间。通过从装置上方投入滚珠，观察滚珠在钉子间的碰撞和最终落入收集区域的情况，可以形成中间高、两边低的正态分布曲线。

高尔顿板展示了随机性和规律性之间的关联。虽然每一个小球从顶部落下时的运动路径看似完全随机，但当大量小球通过钉板时，它们的落点分布却呈现出一种稳定的、具有预测性的曲线，即正态分布曲线。实验表明，看似随机的现象背后，往往隐藏着某种规律性。

为了更直观，我找到了高尔顿板的实验动图：


（高尔顿板实验  图源：百度）

除了随机性现象规律性的呈现，高尔顿板还引发了人们对自身境遇的随机性和确定性的思考。关于它的解读有很多，这里我想分享两个有代表性视角，供大家参考。

在一个稳定的社会中，财富也近似正态分布，即极其富裕和贫穷的都是少数。我们假设落在右侧的小球是能享有财富相对幸运的人，左侧是相对不幸的人，中间的情况是大多数。



第一种视角：侧重客观规律，即个人的选择影响甚微，结果终会服从正态分布。在此种视角中，人生就像一个高尔顿板上的钢珠，虽然投下钢珠的那个主体（独立于社会的自我）推动了它的初始运动，但板上的钉子会不断影响着它的运动轨迹，让它成为一个受到客体与他者影响的“受限运动者”。这些钉子可能是基因、家庭、社会环境等因素，它们使钢珠最终落到了不同但相似的位置，而社会的正态选择，就呈现出正态分布。

第二种视角：承认正态分布的规律存在，但更强调人的主观能动性。承认社会环境中的局限存在，人生遭遇挫折也在所难免，但人的主观能动性更可贵。我们如何面对生活中钉子，选择向左走还是向右走，是可以自主把握的，在每一个微小选择的叠加后，人生或许自会呈现它的意义。

02 工厂质量管理

好啦，聊完人生哲理，现在，让我们将思绪从头顶的星空拉回到地面，一起来看看正态分布是如何创造实用价值的。在工业生产中，工厂质控一个典型的应用场景。

美国戴明博士是质量管理专家和统计学家，被誉为“现代质量管理之父”，他发明的控制图（Control Chart）被沿用至今。该图主要基于一个假设，即不良产品的数量服从正态分布。

控制图通常包括三条平行于横轴的直线：中心线（Central Line，CL）、上控制限（Upper Control Limit，UCL）和下控制限（Lower Control Limit，LCL）。中心线代表所控制的统计量的平均值，而上下控制线则代表与中心线相距数倍的标准差。样本统计量的描点按照时间顺序在控制图上绘制，通过观察描点的分布和排列情况，我们可以判断生产过程是否处于控制状态。


（控制图）

通过观察上方的“控制图”，我们会发现它呈现出折线的形态，纵轴的刻度在一点点地变化。实际上，观察下图我们会发现，这就是正态分布曲线（下图左侧）旋转 90 度得到的。



平均值位于中心线（CL=Central Line），然后在 ±1σ 、±2σ 、±3σ 处也画上线。±3σ 的线被称为“控制界限”，UCL 则是上控制限（Upper Control Limit）、LCL 是下控制限（Lower ControlLimit）。此外， UCL～CL 、CL～LCL 之间被三等分的区域分别是 A 、B 、C 。



通过控制图，我们对质量情况就一目了然了。在上控制限 UCL（A 上方的范围）以上，或是在下控制限 LCL（A 下方的范围）以下的产品都是不合格的。按照设想，大部分产品应在控制限内，只有少量瑕疵，生产的情况才是正常的。控制图可以帮助我们了解生产情况，并及时做出调整。

03 股市风险有多大？

聊完了正态分布在人生在的启发和实际中的应用，我还想做个延伸，想和大家聊聊正态分布中的相关知识是如何指导我们理性决策的。

生活中，对于股市风险的描述有很多，比如“股市有风险，入市需谨慎” “生活里缝缝补补，股市中挥金如土”等，但事实上多数人对其中风险的感知仍是模糊的，因此，我想和大家分享正态分布中的方差、标准差是如何帮我们理解股票市场的风险的。

美国标准普尔 500 指数（S&P 500 Index）是由标准普尔公司（Standard & Poor's）于 1957 年开始编制的股票指数，是世界上风险最低、回报最高的投资工具。标普 500 指数涵盖了对全球经济有重要的影响头部公司，比如我们熟悉的苹果、微软、谷歌、亚马逊、可口可乐、宝洁、麦当劳、迪士尼等，因此，标准普尔 500 指数也被公认为反映美国股市整体表现的重要指标。

过去的半个世纪里，标准普尔 500 指数的增长率大约是每年 7%～8% ，但它的标准差仍高达 16% 左右。在下图中，每一个竖条对应一年股票的涨跌。从下图中可以看出，股市的波动性特别大，每年 7%～8% 的平均回报完全被淹没在巨大的正负误差波动中了。通常，金融领域的人会将这种标准差直接称为风险。


（图源：《吴军数学通识讲义》）

这个事实说明，其实我们对于大概率事件，往往是视而不见的，而风险其实就存在其间。通过标准普尔 500 指数的例子，这里有三点结论要详细说明:

首先，股市的风险要远远高出大部分人的想象，一张图胜过千言万语。美国的标准普尔 500 指数，是世界上风险最低、回报最高的投资工具，而且是 500 种表现很好的股票的平均值、收益和风险之比尚且如此，其他投资的风险就高得多了。因此，投资再小心也不为过。

其次，由于任何一种投资都有标准差（风险），因此对比投资回报时要把它考虑进来，不能只考虑回报不考虑风险。比如投资 A 回报是 10% ，风险是 20% ，投资 B 回报是 5% ，风险是 3% 。不能光看到 10% 比 5% 高，就认定投资 A 比 B 好，要在相同风险条件下进行对比。事实上在做投资时，A，B 这两种投资恰恰是很好的具有互补性的工具。

再次，如果有一只股票连续三年的回报是 10% ，另一只是 5% ，我们也不能说第一只比第二只好。因为 5% 的差异，要远比 16% 的标准差小很多，事实上个股的方差比股指更大。换句话说，这 5% 的差异更可能是市场浮动的随机性造成的。事实上美国每年涨幅最好的 10 只股票、10 个基金到了第二年表现都会跌出前十名。因此，任何人都不要因为几年投资回报超过了股市大盘，就认为自己是股神了，事实上那更有可能是随机性带来的结果。

04 结语

读到这，文章就接近尾声了，感谢耐心阅读至此的你，和我一起完成了正态分布花园中的漫步。

老规矩，让我来为本次漫步做个简要总结吧。在花园入口，我们从高尔顿板实验引入，聊了正态分布的规律以及对人生的启发，接着，我们聊了正态分布在工厂生产中的应用，最后，我们用正态分布有关的知识，分析了为什么股市有很大的风险。

当正态分布离开课堂走进生活，你或许会发现，它其实很亲切。

参考资料

1. 吴军. 吴军数学通识讲义：原来数学可以这样用[M].第一版. 新星出版社, 2021-4.

2. [日] 本丸谅/著 罗梦迪/译. 新手小白学统计[M]. 第一版. 北京: 北京时代华文书局, 2023年5月.

3. 微信文章：张璐：从交大文管到同济哲学博士，高考与人生的选择. 2023.7.1

4. 微信文章：景红. 人生选择时，走过的“高尔顿板”. 2020.8.22

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