太阳判定2^170141183460469231731687303715884105727-1是合数没有理论依据

yangchuanju · 发表于 2024-8-12 15:40

本帖最后由 yangchuanju 于 2024-8-13 01:04 编辑

各类余数的素数个数大致一样多
对一段连续素数除以某个正整数c，余数可能是0,1,2，……，c-1；
经对大量素数统计分析，当c是素数时它们的余数（0除外）基本上是一样多；当c是合数时它们的余数或者基本一样多，或者等于0或1。
例如在前10000个素数中，模3余1的素数49961个，模3余2的素数50038个；
模5余1,2,3,4的素数分别为24967,25016,25007,25009个；
模7余1,2,3,4,5,6的素数分别为16677,16649,16685,16630,16673,16685个；……
模数及余数 3 5 7 11 13
0 1 1 1 1 1
1 49961 24967 16677 9983 8290
2 50038 25016 16649 10031 8345
3 0 25007 16685 9985 8301
4 0 25009 16630 10017 8298
5 0 0 16673 9976 8323
6 0 0 16685 10037 8337
7 0 0 0 9999 8343
8 0 0 0 10013 8351
9 0 0 0 9978 8354
10 0 0 0 9980 8360
11 0 0 0 0 8369
12 0 0 0 0 8328

由于各个素数除2以外都是奇数，故模2余0的素数只有1个，其余都是模3余1的；
没有模4余0的素数，模4余2的素数只有1个2，其余都是模4余1和余3的，分别为49949和50000个，基本一样多；
没有模8余0余6的素数，模8余2的素数只有1个2，其余都是模8余1,3,5,7的，分别为24923,25039,25026,25011个，基本一样多；……
没有模9余0余6的素数，模9余3的素数只有1个3，其余都是模9余1,2,4,5,7,8的，分别为16666,16693,16655,16655,16640,16690个，基本一样多；……
模数及余数 2 4 8 3 9
0 1 0 0 1 0
1 99999 49949 24923 49961 16666
2 0 1 1 50038 16693
3 0 50050 25039 0 1
4 0 0 0 0 16655
5 0 0 25026 0 16655
6 0 0 0 0 0
7 0 0 25011 0 16640
8 0 0 0 0 16690

yangchuanju · 发表于 2024-8-12 15:42

本帖最后由 yangchuanju 于 2024-8-12 18:59 编辑

当2^n-1中的指数n是素数p时，2^p-1被称之为梅森数；
梅森数之中大多数是合数，只有少部分是素数；
对于梅森数中的素数冠有一个专有名词——梅森素数。
在前10万个梅森数中，只有34个梅森素数。
已知的最大的梅森素数都是当前所知的最大素数；
除第一个梅森素数3以外都是模8余7的。

梅森素数的指数没有特定的余数，余数类别与通常的素数相同；
现对当前已知的51个梅森素数的指数的余数统计分析如下——
指数 9 3 4 5 6 7 8 10
2 2 2 2 2 2 2 2 2
3 3 0 3 3 3 3 3 3
5 5 2 1 0 5 5 5 5
7 7 1 3 2 1 0 7 7
13 4 1 1 3 1 6 5 3
17 8 2 1 2 5 3 1 7
19 1 1 3 4 1 5 3 9
31 4 1 3 1 1 3 7 1
61 7 1 1 1 1 5 5 1
89 8 2 1 4 5 5 1 9
107 8 2 3 2 5 2 3 7
127 1 1 3 2 1 1 7 7
521 8 2 1 1 5 3 1 1
607 4 1 3 2 1 5 7 7
1279 1 1 3 4 1 5 7 9
2203 7 1 3 3 1 5 3 3
2281 4 1 1 1 1 6 1 1
3217 4 1 1 2 1 4 1 7
4253 5 2 1 3 5 4 5 3
4423 4 1 3 3 1 6 7 3
9689 5 2 1 4 5 1 1 9
9941 5 2 1 1 5 1 5 1
11213 8 2 1 3 5 6 5 3
19937 2 2 1 2 5 1 1 7
21701 2 2 1 1 5 1 5 1
23209 7 1 1 4 1 4 1 9
44497 1 1 1 2 1 5 1 7
86293 1 1 1 3 1 4 5 3
110503 1 1 3 3 1 1 7 3
132049 1 1 1 4 1 1 1 9
216091 1 1 3 1 1 1 3 1
756839 2 2 3 4 5 6 7 9
859433 5 2 1 3 5 1 1 3
1257787 1 1 3 2 1 6 3 7
1398269 2 2 1 4 5 5 5 9
2976221 2 2 1 1 5 3 5 1
3021377 5 2 1 2 5 2 1 7
6972593 5 2 1 3 5 5 1 3
13466917 1 1 1 2 1 2 5 7
20996011 1 1 3 1 1 1 3 1
24036583 4 1 3 3 1 4 7 3
25964951 5 2 3 1 5 5 7 1
30402457 7 1 1 2 1 1 1 7
32582657 2 2 1 2 5 2 1 7
37156667 5 2 3 2 5 2 3 7
42643801 1 1 1 1 1 4 1 1
43112609 8 2 1 4 5 1 1 9
57885161 5 2 1 1 5 5 1 1
74207281 4 1 1 1 1 1 1 1
77232917 2 2 1 2 5 6 5 7
82589933 2 2 1 3 5 6 5 3

yangchuanju · 发表于 2024-8-12 15:43

本帖最后由 yangchuanju 于 2024-8-12 18:59 编辑

梅森素数的指数没有特定的余数，余数类别与通常的素数相同；
现对当前已知的51个梅森素数的指数的余数统计分析如下——
模数及余数 9 3 4 5 6 7 8 10
0 0 1 0 1 0 1 0 0
1 12 25 32 13 25 13 19 13
2 9 25 1 16 1 6 1 1
3 1 0 18 12 1 5 8 12
4 8 0 0 9 0 6 0 0
5 10 0 0 0 24 12 13 1
6 0 0 0 0 0 8 0 0
7 5 0 0 0 0 0 10 15
8 6 0 0 0 0 0 0 0
9 0 0 0 0 0 0 0 9

从统计分析表中易知，梅森数指数模3,5,7时的余1,2，……p-1时的个数也是基本上一样多；
模4余1余3的，模8余1,3,5,7的，模10余1,3,7,9的个数基本上一样多；
模9余1,2,4,5,7,8的分别为12,9,8,10,5,6个（如果梅森素数再增多一些六种余数的个数也会一样多）。

yangchuanju · 发表于 2024-8-12 15:48

太阳贴
已知a^2*c-a^2*c^2=5a^3，c=2^k-1，k=9u+1，
整数a≠0，m>1，t>1，u>1，奇数c>0，素数k>0
求证：2^k-1=mt

已知a^2*c-a^2*c^2=11a^3，c=2^k-1，k=9u+1，
整数a≠0，m>1，t>1，u>1，奇数c>0，素数k>0
求证：2^k-1=mt

已知a^2*c-a^2*c^2=37a^3，c=2^k-1，k=9u+1，
整数a≠0，m>1，t>1，u>1，奇数c>0，素数k>0
求证：2^k-1=mt

已知a^2*c-a^2*c^2=109a^3，c=2^k-1，k=9u+1，
整数a≠0，m>1，t>1，u>1，奇数c>0，素数k>0
求证：2^k-1=mt

yangchuanju · 发表于 2024-8-12 15:49

太阳先生在讨论2^170141183460469231731687303715884105727-1=2^(2^127-1)-1是不是素数时的帖子中，限定梅森数的指数不能是9u+1型（即模9余1型）的素数没有任何理论依据！这个38位的大素数本身就是模9余1的！
170141183460469231731687303715884105727
模2 余1
3 1
4 3
5 2
6 1
7 1
8 7
9 1
10 7

yangchuanju · 发表于 2024-8-12 16:23

已知a^2*c-a^2*c^2=5a^3，c=2^k-1，k=9u+1，
整数a≠0，m>1，t>1，u>1，奇数c>0，素数k>0
求证：2^k-1=mt
因a≠0，故方程可约去a^2，a^2*c-a^2*c^2=5a^3变成
c-c^2=5a，5a+(c-1)*c=0，a=-(c-1)*c/5
给定一个c值，如果a是（负）整数，则方程的一组整数解被找到。
k的取值，k要是素数，u只能是偶数，9u+1数列中的素数有19,37,73,109,127，……

对于a=-(c-1)*c/5，给定c=2^19-1没有整数解，2^19-1是素数；给定c=2^37-1有整数解，2^37-1是合数；……

将a的分母5换成11又怎么样？
对于a=-(c-1)*c/11，给定c=2^19-1和c=2^37-1都没有整数解，如何判断c=2^19-1和c=2^37-1的素合性呢？

将a的分母5换成73又怎么样？
对于a=-(c-1)*c/73，给定c=2^19-1和c=2^37-1都有整数解，那又如何判断c=2^19-1和c=2^37-1的素合性呢？

yangchuanju · 发表于 2024-8-12 21:36

对太阳方程a^2*c-a^2*c^2=p*a^3，（p=5,11,37,109）略作变换即得简化的太阳方程a=(c-c^2)/p;
用模9余1的素数当作简化的太阳方程a=(c-c^2)/p=-c*(c-1)中c=2^k-1中的指数k，依次计算模余数如下，
其中余数0或1的即表示整除有整数解；余数不等于0或1的不是整数解：
（10000以内即是梅森素数指数，又是模9余1素数的素数有4个-19,127,1279)
序号指数k 分母5 分母11 分母37 分母109
1 19 2 5 34 106
2 37 1 6 1 1
3 73 1 7 1 1
4 109 1 5 1 1
5 127 2 6 34 106
6 163 2 7 34 106
7 181 1 1 1 1
8 199 2 5 34 106
33 1279 2 5 34 106

yangchuanju · 发表于 2024-8-12 21:36

太阳先生一口气给出4个“求证：2^k-1=mt”的命题——
已知a^2*c-a^2*c^2=5a^3，c=2^k-1，k=9u+1，
整数a≠0，m>1，t>1，u>1，奇数c>0，素数k>0
求证：2^k-1=mt

已知a^2*c-a^2*c^2=11a^3，c=2^k-1，k=9u+1，
整数a≠0，m>1，t>1，u>1，奇数c>0，素数k>0
求证：2^k-1=mt

已知a^2*c-a^2*c^2=37a^3，c=2^k-1，k=9u+1，
整数a≠0，m>1，t>1，u>1，奇数c>0，素数k>0
求证：2^k-1=mt

已知a^2*c-a^2*c^2=109a^3，c=2^k-1，k=9u+1，
整数a≠0，m>1，t>1，u>1，奇数c>0，素数k>0
求证：2^k-1=mt

总的结论是——整除，即有整数解时，2^k-1就是合数。
请看上表，对于分母等于5时，k=37,73,109,181时皆有整数解，4个梅森数确实合数；
对于分母等于37,109时也是如此，太阳命题好像是正确的；
但对于k=163、199，皆没有整数解，但2^163-1、2^199-1也都是合数呀？
对于分母是11的，仅k=181时有整数解，2^181-1是合数，怎么能把有整数解即是合数当成合数的判定准则呢？
还不如将11换成13，倒与分母5,37,73的表现一致些（这是后话）。

yangchuanju · 发表于 2024-8-12 21:38

请问太阳先生，凭什么方程的分母p不能是其它素数——3,7,13,17,19,23,29,31……？
序号指数k 3 7 13 17 19 31 73
1 19 1 1 10 7 1 15 1
2 37 1 1 1 14 1 3 1
3 73 1 1 1 1 1 7 1
4 109 1 1 1 14 1 15 1
5 127 1 1 10 8 1 3 1
6 163 1 1 10 7 1 7 1
7 181 1 1 1 14 1 1 1
8 199 1 1 10 8 1 15 1
33 1279 1 1 10 8 1 15 1

原来若用素数3,7,19,73作分母，不论梅森数是不是合数皆能整除，有整数解；
若用素数17,31作分母，整除很少发生，如同素数11一样；
唯素数13的表现与素数5,37和109一样。

yangchuanju · 发表于 2024-8-12 21:38

怪现象——
素数5作分母时，余数只有1和2；
素数13作分母时，余数只有1和10；
素数37作分母时，余数只有1和34；
素数109作分母时，余数只有1和106；

素数3,7,19,73作分母时，余数全是1。

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